Номер 391, страница 80, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

391 Сократи дроби, если значения всех переменных – натуральные числа и

$ y \neq z: $

1) $ \frac{2640}{5544}; $

2) $ \frac{5670}{33075}; $

3) $ \frac{8a^2b}{36ab^3c}; $

4) $ \frac{52mk^3}{13mk^2t}; $

5) $ \frac{56 \cdot 78}{29 \cdot 56 - 56 \cdot 16}; $

6) $ \frac{11 \cdot 25 - 7 \cdot 25}{25 \cdot 44 - 14 \cdot 25}; $

7) $ \frac{a(b+c)}{ac}; $

8) $ \frac{xy - xz}{y - z}. $

1)

Для сокращения дроби $\frac{2640}{5544}$ будем последовательно делить числитель и знаменатель на общие делители. Оба числа четные, так что начнем с деления на 2, и так как оба заканчиваются на 0 и 4, они делятся на 4. Лучше начнем с 10 для 2640, но 5544 не делится на 10. Давайте разложим на простые множители:

$2640 = 2 \cdot 1320 = 2^2 \cdot 660 = 2^3 \cdot 330 = 2^4 \cdot 165 = 2^4 \cdot 3 \cdot 55 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$

$5544 = 2 \cdot 2772 = 2^2 \cdot 1386 = 2^3 \cdot 693 = 2^3 \cdot 3 \cdot 231 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 77 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11$

Теперь сократим дробь, убирая общие множители:

$\frac{2640}{5544} = \frac{2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11} = \frac{2^{4-3} \cdot 5}{3^{2-1} \cdot 7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$
Ответ: $\frac{10}{21}$

2)

Для сокращения дроби $\frac{5670}{33075}$ найдем общие делители. Числитель заканчивается на 0, а знаменатель на 5, значит оба числа делятся на 5.

$\frac{5670 \div 5}{33075 \div 5} = \frac{1134}{6615}$

Проверим делимость на 9. Сумма цифр числителя $1+1+3+4=9$, делится на 9. Сумма цифр знаменателя $6+6+1+5=18$, делится на 9.

$\frac{1134 \div 9}{6615 \div 9} = \frac{126}{735}$

Теперь найдем общие делители для 126 и 735. $126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 7 \cdot 9$. $735$ заканчивается на 5, $735 = 5 \cdot 147$. $147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$.

Итак, $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$ и $735 = 3 \cdot 5 \cdot 7^2$. Их общий делитель $3 \cdot 7 = 21$.

$\frac{126 \div 21}{735 \div 21} = \frac{6}{35}$
Ответ: $\frac{6}{35}$

3)

Для сокращения дроби $\frac{8a^2b}{36ab^3c}$ сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные.

Коэффициенты: $\frac{8}{36} = \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9}$

Переменные: $\frac{a^2b}{ab^3c} = \frac{a \cdot a \cdot b}{a \cdot b \cdot b \cdot b \cdot c} = \frac{a}{b^2c}$

Объединяем: $\frac{2a}{9b^2c}$
Ответ: $\frac{2a}{9b^2c}$

4)

Сократим дробь $\frac{52mk^3}{13mk^2t}$.

Коэффициенты: $\frac{52}{13} = 4$

Переменные: $\frac{mk^3}{mk^2t} = \frac{m \cdot k^2 \cdot k}{m \cdot k^2 \cdot t}$. Сокращаем на $m$ и $k^2$. Остается $\frac{k}{t}$.

Объединяем: $\frac{4k}{t}$
Ответ: $\frac{4k}{t}$

5)

Рассмотрим дробь $\frac{56 \cdot 78}{29 \cdot 56 - 56 \cdot 16}$. В знаменателе вынесем общий множитель 56 за скобки, используя распределительный закон.

$29 \cdot 56 - 56 \cdot 16 = 56 \cdot (29 - 16) = 56 \cdot 13$

Теперь наша дробь имеет вид: $\frac{56 \cdot 78}{56 \cdot 13}$

Сокращаем общий множитель 56: $\frac{78}{13}$

Выполняем деление: $78 \div 13 = 6$
Ответ: $6$

6)

Рассмотрим дробь $\frac{11 \cdot 25 - 7 \cdot 25}{25 \cdot 44 - 14 \cdot 25}$. Вынесем общий множитель 25 за скобки и в числителе, и в знаменателе.

Числитель: $11 \cdot 25 - 7 \cdot 25 = 25 \cdot (11 - 7) = 25 \cdot 4$

Знаменатель: $25 \cdot 44 - 14 \cdot 25 = 25 \cdot (44 - 14) = 25 \cdot 30$

Дробь принимает вид: $\frac{25 \cdot 4}{25 \cdot 30}$

Сокращаем на 25: $\frac{4}{30}$

Сокращаем полученную дробь на 2: $\frac{4 \div 2}{30 \div 2} = \frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$

7)

В дроби $\frac{a(b+c)}{ac}$ числитель и знаменатель имеют общий множитель $a$. Так как все переменные - натуральные числа, то $a \neq 0$.

Сократим дробь на $a$:

$\frac{a(b+c)}{ac} = \frac{b+c}{c}$

Дальнейшее сокращение невозможно, так как в числителе стоит сумма.
Ответ: $\frac{b+c}{c}$

8)

В дроби $\frac{xy - xz}{y - z}$ вынесем в числителе общий множитель $x$ за скобки.

$xy - xz = x(y-z)$

Дробь принимает вид: $\frac{x(y-z)}{y-z}$

По условию $y \neq z$, следовательно, выражение $(y-z)$ не равно нулю, и на него можно сократить.

$\frac{x(y-z)}{(y-z)} = x$
Ответ: $x$