Номер 395, страница 80, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

395 1) Сформулируй гипотезу о том, как изменяется правильная дробь, когда к её числителю и знаменателю прибавляют одно и то же натуральное число. Докажи свою гипотезу, используя метод введения буквенных обозначений.

2) Выполни предыдущее задание для случая, когда данная дробь неправильная.

1)

Гипотеза: При прибавлении к числителю и знаменателю правильной дроби одного и того же натурального числа дробь увеличивается.

Доказательство:

Пусть дана правильная дробь $ \frac{a}{b} $, где $a$ и $b$ – натуральные числа и $a < b$.

Пусть $c$ – натуральное число, которое мы прибавляем к числителю и знаменателю. Новая дробь будет равна $ \frac{a+c}{b+c} $.

Чтобы сравнить две дроби, $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a+c}{b+c} $, найдем их разность. Удобнее вычесть из новой дроби старую:

$ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} $

Приведем дроби к общему знаменателю $b(b+c)$:

$ \frac{(a+c)b}{b(b+c)} - \frac{a(b+c)}{b(b+c)} = \frac{ab + cb - (ab + ac)}{b(b+c)} = \frac{ab + cb - ab - ac}{b(b+c)} = \frac{cb - ac}{b(b+c)} = \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $

Теперь проанализируем знак полученного выражения $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $:

• $c$ – натуральное число, значит $c > 0$.
• $b$ – знаменатель дроби, натуральное число, значит $b > 0$.
• Так как дробь $ \frac{a}{b} $ правильная, то $a < b$, следовательно, разность $b-a > 0$.

В числителе $c(b-a)$ мы имеем произведение двух положительных чисел, значит, числитель положителен.

В знаменателе $b(b+c)$ мы также имеем произведение двух положительных чисел ($b>0$ и $b+c>0$), значит, знаменатель положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то вся дробь положительна:

$ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} > 0 $

Следовательно, разность $ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} > 0 $, что означает $ \frac{a+c}{b+c} > \frac{a}{b} $.

Это доказывает, что новая дробь всегда больше исходной. Гипотеза доказана.

Ответ: При прибавлении к числителю и знаменателю правильной дроби одного и того же натурального числа дробь увеличивается.

2)

Гипотеза: При прибавлении к числителю и знаменателю неправильной дроби одного и того же натурального числа дробь уменьшается, если ее числитель строго больше знаменателя. Если числитель равен знаменателю, дробь не изменяется.

Доказательство:

Пусть дана неправильная дробь $ \frac{a}{b} $, где $a, b$ – натуральные числа и $a \ge b$.

Пусть $c$ – натуральное число, которое прибавляется к числителю и знаменателю. Новая дробь $ \frac{a+c}{b+c} $.

Воспользуемся результатом из пункта 1. Разность между новой и старой дробью равна:

$ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $

Рассмотрим два случая для неправильной дроби.

Случай 1: Числитель больше знаменателя, $a > b$.

В этом случае разность $b-a$ будет отрицательной, $b-a < 0$.

Проанализируем знак выражения $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $:

• Числитель $c(b-a)$ является произведением положительного числа $c$ и отрицательного числа $b-a$, следовательно, числитель отрицателен.
• Знаменатель $b(b+c)$, как мы установили ранее, положителен.

Отношение отрицательного числителя к положительному знаменателю дает отрицательное число, значит $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} < 0 $.

Следовательно, $ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} < 0 $, что означает $ \frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b} $. Дробь уменьшается.

Случай 2: Числитель равен знаменателю, $a = b$.

В этом случае разность $b-a = 0$.

Тогда числитель выражения $c(b-a)$ равен $c \cdot 0 = 0$.

Значит, вся разность равна нулю: $ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = 0 $, откуда $ \frac{a+c}{b+c} = \frac{a}{b} $.

Действительно, исходная дробь равна $ \frac{a}{a} = 1 $, и новая дробь равна $ \frac{a+c}{a+c} = 1 $. Дробь не изменяется.

Гипотеза доказана.

Ответ: Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, при такой операции уменьшается. Если у неправильной дроби числитель равен знаменателю, то она не изменяется.