Номер 396, страница 80, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

396 Двое играют в следующую игру. Разрешается называть любое число, меньшее 1, и проиграет тот, кто не сможет назвать число большее, чем назвал его соперник. Кто выиграет, если оба знают математику достаточно хорошо?

В этой игре победа одного игрока означает поражение другого. Поражение наступает тогда, когда игрок не может сделать ход. Давайте проанализируем, возможна ли такая ситуация.

Обозначим игроков как Игрок 1 (тот, кто ходит первым) и Игрок 2.

1. Игрок 1 называет число $x_1$, которое должно быть меньше 1. Например, он может назвать $x_1 = 0$.

2. Игрок 2 должен назвать число $x_2$ такое, что $x_1 < x_2 < 1$. В нашем примере, $0 < x_2 < 1$.

3. Затем Игрок 1 должен назвать число $x_3$ такое, что $x_2 < x_3 < 1$, и так далее.

На каждом шаге игрок, чей ход наступил, должен назвать число, которое больше предыдущего, но меньше 1. Пусть предыдущее названное число было $x_k$. Следующий игрок проиграет, если он не сможет найти число $x_{k+1}$ в интервале $(x_k, 1)$.

Поскольку оба игрока "знают математику достаточно хорошо", они знают основное свойство действительных чисел: между любыми двумя различными числами всегда существует бесконечное множество других чисел. Это свойство называется плотностью множества действительных чисел.

Это означает, что для любого названного числа $x_k < 1$, интервал $(x_k, 1)$ никогда не бывает пустым. Всегда можно найти число в этом интервале. Например, можно взять среднее арифметическое чисел $x_k$ и 1:

$$ x_{k+1} = \frac{x_k + 1}{2} $$

Поскольку $x_k < 1$, то $x_k < \frac{x_k + 1}{2} < 1$. Таким образом, следующий игрок всегда может сделать ход.

Так как на любом этапе игры у очередного игрока всегда есть возможность сделать ход, условие проигрыша ("не сможет назвать число") никогда не выполняется. Игра теоретически может продолжаться бесконечно. Ни один из игроков не может быть принужден к проигрышу. А если никто не проигрывает, то никто и не выигрывает.

Ответ: Никто не выиграет, так как игра никогда не закончится.