Номер 384, страница 78, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

384 Из дачного посёлка в деревню вышел пешеход со скоростью $4 \frac{1}{5}$ км/ч. Через 25 мин из того же посёлка в том же направлении выехал велосипедист со скоростью 21 км/ч. Успеет ли велосипедист догнать пешехода до его прихода в деревню, если расстояние между деревней и дачным посёлком $3 \frac{1}{2}$ км?

Для ответа на вопрос задачи нужно определить, где и когда велосипедист догонит пешехода, и проверить, произойдет ли это до того, как пешеход достигнет деревни. Решим задачу по шагам.

1. Определим, какое расстояние прошел пешеход за 25 минут.

Сначала переведем время, которое пешеход шёл один, из минут в часы:

$25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$.

Скорость пешехода $v_п = 4\frac{1}{5} \text{ км/ч} = \frac{21}{5}$ км/ч.

За это время пешеход создал отрыв, равный:

$S_1 = v_п \cdot t = \frac{21}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$ км.

2. Найдем скорость сближения.

Скорость сближения — это разность скоростей велосипедиста и пешехода, так как они движутся в одном направлении.

$v_{сбл} = v_в - v_п = 21 - 4\frac{1}{5} = 21 - \frac{21}{5} = \frac{105}{5} - \frac{21}{5} = \frac{84}{5}$ км/ч.

3. Найдем время, через которое велосипедист догонит пешехода.

Чтобы догнать пешехода, велосипедисту нужно преодолеть первоначальный отрыв $S_1$ со скоростью сближения $v_{сбл}$. Время, которое ему для этого понадобится ($t_{встречи}$), рассчитывается с момента его выезда:

$t_{встречи} = \frac{S_1}{v_{сбл}} = \frac{7/4}{84/5} = \frac{7}{4} \cdot \frac{5}{84} = \frac{7 \cdot 5}{4 \cdot 12 \cdot 7} = \frac{5}{48}$ ч.

4. Вычислим, на каком расстоянии от посёлка произойдет встреча.

Это расстояние равно пути, который проедет велосипедист за время $t_{встречи}$:

$S_{встречи} = v_в \cdot t_{встречи} = 21 \cdot \frac{5}{48} = \frac{21 \cdot 5}{48} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 5}{16 \cdot 3} = \frac{35}{16}$ км.

5. Сравним расстояние, на котором произойдет встреча, с расстоянием до деревни.

Расстояние до деревни по условию $S_{дер} = 3\frac{1}{2} \text{ км} = \frac{7}{2}$ км.

Расстояние, на котором произойдет встреча, $S_{встречи} = \frac{35}{16}$ км.

Чтобы сравнить эти два значения, приведем дробь $\frac{7}{2}$ к знаменателю 16:

$\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{56}{16}$.

Теперь сравним $S_{встречи}$ и $S_{дер}$:

$\frac{35}{16} < \frac{56}{16}$.

Поскольку расстояние, на котором велосипедист догонит пешехода, меньше, чем расстояние до деревни, он успеет догнать его до прихода в деревню.

Ответ: да, успеет.