Номер 379, страница 77, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

379 1) Ширину прямоугольного участка земли, равную $35 \frac{3}{4}$ м, увеличили на $8 \frac{7}{20}$ м и получили прямоугольный участок площадью $882$ м$^2$. Чему была равна первоначальная площадь участка?

2) Площадь поверхности куба равна $13 \frac{1}{2}$ см$^2$. Чему равна длина ребра этого куба?

1)

Для решения задачи сначала найдем новую ширину участка. Первоначальная ширина была $35\frac{3}{4}$ м, и ее увеличили на $8\frac{7}{20}$ м.

Новая ширина $w_2 = 35\frac{3}{4} + 8\frac{7}{20}$.

Чтобы сложить эти смешанные числа, приведем их дробные части к общему знаменателю 20:

$35\frac{3}{4} = 35\frac{3 \times 5}{4 \times 5} = 35\frac{15}{20}$.

Теперь выполним сложение:

$w_2 = 35\frac{15}{20} + 8\frac{7}{20} = (35+8) + (\frac{15}{20} + \frac{7}{20}) = 43 + \frac{22}{20} = 43 + 1\frac{2}{20} = 44\frac{2}{20} = 44\frac{1}{10}$ м.

Площадь нового участка составляет 882 м². Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = L \times w$, где $L$ - длина, а $w$ - ширина. Так как изменилась только ширина, длина участка осталась прежней. Найдем длину, используя площадь и новую ширину:

$L = S_2 \div w_2 = 882 \div 44\frac{1}{10}$.

Переведем смешанное число $44\frac{1}{10}$ в неправильную дробь: $44\frac{1}{10} = \frac{44 \times 10 + 1}{10} = \frac{441}{10}$.

Теперь найдем длину:

$L = 882 \div \frac{441}{10} = 882 \times \frac{10}{441}$.

Поскольку $882 = 2 \times 441$, то:

$L = \frac{2 \times 441 \times 10}{441} = 2 \times 10 = 20$ м.

Зная длину участка (20 м) и его первоначальную ширину ($35\frac{3}{4}$ м), мы можем вычислить первоначальную площадь $S_1$.

$S_1 = L \times w_1 = 20 \times 35\frac{3}{4}$.

Переведем $35\frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $35\frac{3}{4} = \frac{35 \times 4 + 3}{4} = \frac{143}{4}$.

$S_1 = 20 \times \frac{143}{4} = \frac{20}{4} \times 143 = 5 \times 143 = 715$ м².

Ответ: первоначальная площадь участка была равна 715 м².

2)

Площадь поверхности куба $S$ вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ - длина ребра куба. Это связано с тем, что куб имеет 6 одинаковых квадратных граней, и площадь каждой грани равна $a^2$.

По условию задачи, площадь поверхности куба равна $13\frac{1}{2}$ см².

Для удобства вычислений переведем это смешанное число в неправильную дробь:

$13\frac{1}{2} = \frac{13 \times 2 + 1}{2} = \frac{27}{2}$ см².

Теперь у нас есть уравнение: $6a^2 = \frac{27}{2}$.

Сначала найдем площадь одной грани ($a^2$), разделив общую площадь поверхности на 6:

$a^2 = \frac{27}{2} \div 6 = \frac{27}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{27}{12}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{27}{12} = \frac{9 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{4}$.

Итак, площадь одной грани куба $a^2 = \frac{9}{4}$ см².

Чтобы найти длину ребра $a$, нужно извлечь квадратный корень из площади грани:

$a = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$ см.

Представим результат в виде смешанного числа: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ см.

Ответ: длина ребра этого куба равна $1\frac{1}{2}$ см.