Номер 372, страница 76, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

372 1) Сравни $m$ и $m : \frac{2}{5}$ при $m = 4, 10, \frac{1}{5}, \frac{15}{8}$. Как изменяется число при его делении на дробь, меньшую единицы?

2) Сравни $n$ и $n : \frac{5}{2}$ при $n = 5, 15, \frac{1}{2}, \frac{25}{16}$. Как изменяется число при его делении на дробь, большую единицы?

3) Для натуральных чисел делимое никогда не бывает меньше делителя и частного. Сохраняется ли это свойство для деления дробей?

1) Сравним $m$ и $m : \frac{2}{5}$ для заданных значений $m$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь.

При $m = 4$:

$m : \frac{2}{5} = 4 : \frac{2}{5} = 4 \cdot \frac{5}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Сравнение: $4 < 10$, следовательно $m < m : \frac{2}{5}$.

При $m = 10$:

$m : \frac{2}{5} = 10 : \frac{2}{5} = 10 \cdot \frac{5}{2} = \frac{50}{2} = 25$.

Сравнение: $10 < 25$, следовательно $m < m : \frac{2}{5}$.

При $m = \frac{1}{5}$:

$m : \frac{2}{5} = \frac{1}{5} : \frac{2}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Сравнение: $\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$ (поскольку $\frac{2}{10} < \frac{5}{10}$), следовательно $m < m : \frac{2}{5}$.

При $m = \frac{15}{8}$:

$m : \frac{2}{5} = \frac{15}{8} : \frac{2}{5} = \frac{15}{8} \cdot \frac{5}{2} = \frac{75}{16}$.

Сравнение: $\frac{15}{8} = \frac{30}{16}$. Поскольку $\frac{30}{16} < \frac{75}{16}$, то $\frac{15}{8} < \frac{75}{16}$, следовательно $m < m : \frac{2}{5}$.

Во всех случаях частное от деления на дробь $\frac{2}{5}$ (которая меньше 1) оказывается больше исходного числа.

Ответ: При делении на дробь, меньшую единицы, число увеличивается. Во всех примерах частное больше, чем $m$.

2) Сравним $n$ и $n : \frac{5}{2}$ для заданных значений $n$.

При $n = 5$:

$n : \frac{5}{2} = 5 : \frac{5}{2} = 5 \cdot \frac{2}{5} = 2$.

Сравнение: $5 > 2$, следовательно $n > n : \frac{5}{2}$.

При $n = 15$:

$n : \frac{5}{2} = 15 : \frac{5}{2} = 15 \cdot \frac{2}{5} = \frac{30}{5} = 6$.

Сравнение: $15 > 6$, следовательно $n > n : \frac{5}{2}$.

При $n = \frac{1}{2}$:

$n : \frac{5}{2} = \frac{1}{2} : \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Сравнение: $\frac{1}{2} > \frac{1}{5}$ (поскольку $\frac{5}{10} > \frac{2}{10}$), следовательно $n > n : \frac{5}{2}$.

При $n = \frac{25}{16}$:

$n : \frac{5}{2} = \frac{25}{16} : \frac{5}{2} = \frac{25}{16} \cdot \frac{2}{5} = \frac{50}{80} = \frac{5}{8}$.

Сравнение: $\frac{25}{16}$ и $\frac{5}{8} = \frac{10}{16}$. Поскольку $\frac{25}{16} > \frac{10}{16}$, то $n > n : \frac{5}{2}$.

Во всех случаях частное от деления на дробь $\frac{5}{2}$ (которая больше 1) оказывается меньше исходного числа.

Ответ: При делении на дробь, большую единицы, число уменьшается. Во всех примерах частное меньше, чем $n$.

3) Свойство натуральных чисел, согласно которому делимое не бывает меньше делителя и частного, не сохраняется при делении дробей. Рассмотрим это на примерах.

Пусть $a$ — делимое, $b$ — делитель, $c$ — частное, то есть $a : b = c$.

Может ли делимое быть меньше частного ($a < c$)?

Да. Как показано в пункте 1, при делении на дробь, меньшую 1, частное всегда больше делимого. Например:

$4 : \frac{2}{5} = 10$.

Здесь делимое $a=4$, а частное $c=10$. Мы видим, что $4 < 10$, то есть делимое меньше частного.

Может ли делимое быть меньше делителя ($a < b$)?

Да. Это происходит, когда мы делим меньшее число на большее. Например:

$\frac{1}{3} : \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Здесь делимое $a=\frac{1}{3}$, а делитель $b=\frac{2}{3}$. Мы видим, что $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$, то есть делимое меньше делителя.

Ответ: Нет, это свойство для деления дробей не сохраняется. Делимое может быть и меньше делителя, и меньше частного.