Номер 376, страница 77, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

376 Расположи дроби в порядке возрастания:

1) $\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3$;

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^2, \left(\frac{1}{5}\right)^{22}, \left(\frac{1}{5}\right)^{222}$;

3) $\frac{3}{2}, \left(\frac{3}{2}\right)^{10}, \left(\frac{3}{2}\right)^{100}$.

1) Чтобы расположить дроби $ \frac{1}{2} $, $ (\frac{1}{2})^2 $, $ (\frac{1}{2})^3 $ в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Для этого можно либо вычислить их значения, либо использовать свойство степеней.

Способ 1: Вычисление значений.
$ \frac{1}{2} = 0.5 $
$ (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 $
$ (\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125 $

Сравнивая полученные десятичные дроби, получаем неравенство: $ 0.125 < 0.25 < 0.5 $.
Следовательно, в порядке возрастания дроби располагаются так: $ (\frac{1}{2})^3, (\frac{1}{2})^2, \frac{1}{2} $.

Способ 2: Использование свойства степеней.
Для любого числа $a$, такого что $0 < a < 1$, при сравнении его степеней, большей будет та степень, показатель которой меньше. В нашем случае основание $a = \frac{1}{2}$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Показатели степеней равны 1, 2 и 3. Так как $1 < 2 < 3$, то для степеней будет верно обратное неравенство: $ (\frac{1}{2})^1 > (\frac{1}{2})^2 > (\frac{1}{2})^3 $. Располагая их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем тот же результат.

Ответ: $ (\frac{1}{2})^3, (\frac{1}{2})^2, \frac{1}{2} $.

2) Требуется расположить в порядке возрастания дроби $ (\frac{1}{5})^2, (\frac{1}{5})^{22}, (\frac{1}{5})^{222} $.

Здесь мы имеем степени с одинаковым основанием $ a = \frac{1}{5} $. Так как $0 < \frac{1}{5} < 1$, то при возведении этого числа в разные степени, меньшим будет то значение, показатель степени которого больше.

Сравним показатели степеней: $ 2 < 22 < 222 $.

Поскольку основание меньше единицы, для значений степеней будет выполняться обратное неравенство: $ (\frac{1}{5})^2 > (\frac{1}{5})^{22} > (\frac{1}{5})^{222} $.

Таким образом, в порядке возрастания эти дроби располагаются следующим образом: от наименьшей к наибольшей.

Ответ: $ (\frac{1}{5})^{222}, (\frac{1}{5})^{22}, (\frac{1}{5})^2 $.

3) Требуется расположить в порядке возрастания числа $ \frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^{10}, (\frac{3}{2})^{100} $.

В этом случае мы имеем степени с основанием $ a = \frac{3}{2} $. Заметим, что первое число можно представить как $ \frac{3}{2} = (\frac{3}{2})^1 $. Основание $ \frac{3}{2} = 1.5 $, то есть $ a > 1 $.

Для любого числа $a$, такого что $a > 1$, при сравнении его степеней, большей будет та степень, показатель которой больше.

Сравним показатели степеней: $ 1 < 10 < 100 $.

Так как основание больше единицы, для значений степеней будет выполняться такое же неравенство: $ (\frac{3}{2})^1 < (\frac{3}{2})^{10} < (\frac{3}{2})^{100} $.

Следовательно, числа уже расположены в порядке возрастания.

Ответ: $ \frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^{10}, (\frac{3}{2})^{100} $.