Номер 382, страница 78, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

382 1) Расстояние между двумя железнодорожными станциями 336 км. С этих станций выехали одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через $2 \frac{2}{5}$ ч. Найди скорость каждого поезда, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого.

2) С аэродрома в 12 ч дня вылетел вертолёт. Через $1 \frac{1}{2}$ ч с того же аэродрома в том же направлении вылетел самолёт. Скорость самолёта равна 800 км/ч, что в 4 раза больше скорости вертолёта. В котором часу самолёт догонит вертолёт? На каком расстоянии от аэродрома это произойдёт?

1)

Пусть $x$ км/ч — скорость одного (более медленного) поезда. Тогда скорость второго поезда равна $(x + 5)$ км/ч.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = x + (x + 5) = 2x + 5$ км/ч.

Время, через которое поезда встретились, составляет $t = 2\frac{2}{5}$ часа. Переведем это значение в десятичную дробь для удобства вычислений: $2\frac{2}{5} = 2.4$ ч.

Общее расстояние, которое поезда прошли до встречи, равно расстоянию между станциями, то есть 336 км. Составим уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$(2x + 5) \cdot 2.4 = 336$

Решим это уравнение:
$2x + 5 = 336 / 2.4$
$2x + 5 = 140$
$2x = 140 - 5$
$2x = 135$
$x = 135 / 2$
$x = 67.5$

Таким образом, скорость одного поезда составляет 67.5 км/ч.
Скорость второго поезда равна: $67.5 + 5 = 72.5$ км/ч.

Ответ: скорость одного поезда 67.5 км/ч, а другого 72.5 км/ч.

2)

Сначала найдем скорость вертолёта. Скорость самолёта равна 800 км/ч, что в 4 раза больше скорости вертолёта. Следовательно, скорость вертолёта:
$v_{верт} = 800 / 4 = 200$ км/ч.

Вертолёт вылетел в 12 ч дня. Самолёт вылетел через $1\frac{1}{2}$ часа, то есть через 1.5 часа. Время вылета самолёта: 12:00 + 1 час 30 минут = 13:30.

За эти 1.5 часа, пока самолёт был на аэродроме, вертолёт успел улететь на некоторое расстояние:
$S_{преим} = v_{верт} \cdot t_{преим} = 200 \text{ км/ч} \cdot 1.5 \text{ ч} = 300$ км.

Самолёт догоняет вертолёт. Найдём их скорость сближения. Так как они летят в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_{сам} - v_{верт} = 800 \text{ км/ч} - 200 \text{ км/ч} = 600$ км/ч.

Теперь найдём время, за которое самолёт догонит вертолёт, то есть покроет отставание в 300 км:
$t_{погони} = \frac{S_{преим}}{v_{сбл}} = \frac{300 \text{ км}}{600 \text{ км/ч}} = 0.5$ часа.

0.5 часа — это 30 минут. Самолёт догонит вертолёт через 30 минут после своего вылета. Так как самолёт вылетел в 13:30, встреча произойдет в 13:30 + 30 минут = 14:00.

Найдём расстояние от аэродрома, на котором произойдет встреча. Для этого умножим скорость самолёта на время его полёта до встречи:
$S_{встречи} = v_{сам} \cdot t_{погони} = 800 \text{ км/ч} \cdot 0.5 \text{ ч} = 400$ км.

Ответ: самолёт догонит вертолёт в 14:00 на расстоянии 400 км от аэродрома.