Номер 514, страница 108, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

514 Имеются полотенца трёх размеров. Длина одного из них равна $\frac{3}{4}$ м, что составляет $\frac{3}{5}$ длины второго. Длина третьего полотенца составляет $\frac{5}{12}$ суммы длин первых двух.

Какую часть длина третьего полотенца составляет от длины второго?

Пусть $L_1$, $L_2$ и $L_3$ — это длины первого, второго и третьего полотенец соответственно.

Из условия задачи известно, что длина одного полотенца (обозначим его как первое) равна $\frac{3}{4}$ м, и эта длина составляет $\frac{3}{5}$ от длины второго полотенца. Запишем это соотношение:
$L_1 = \frac{3}{5} L_2$.

Также известно, что длина третьего полотенца составляет $\frac{5}{12}$ от суммы длин первых двух:
$L_3 = \frac{5}{12} (L_1 + L_2)$.

Чтобы найти, какую часть длина третьего полотенца составляет от длины второго, нам нужно найти отношение $\frac{L_3}{L_2}$. Для этого выразим $L_3$ через $L_2$, подставив выражение для $L_1$ во второе уравнение:
$L_3 = \frac{5}{12} \left( \frac{3}{5} L_2 + L_2 \right)$.
Вынесем общий множитель $L_2$ за скобки:
$L_3 = \frac{5}{12} \times L_2 \times \left( \frac{3}{5} + 1 \right)$.
Выполним сложение в скобках:
$\frac{3}{5} + 1 = \frac{3}{5} + \frac{5}{5} = \frac{8}{5}$.
Подставим результат обратно в уравнение для $L_3$:
$L_3 = \frac{5}{12} \times L_2 \times \frac{8}{5}$.
Теперь перемножим дроби, чтобы найти коэффициент при $L_2$:
$L_3 = \left( \frac{5}{12} \times \frac{8}{5} \right) \times L_2 = \frac{5 \times 8}{12 \times 5} \times L_2 = \frac{40}{60} \times L_2$.
Сократим полученную дробь:
$\frac{40}{60} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Таким образом, мы получили соотношение:
$L_3 = \frac{2}{3} L_2$.

Это означает, что длина третьего полотенца составляет $\frac{2}{3}$ от длины второго.

Ответ: $\frac{2}{3}$.