Номер 519, страница 110, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

519 К числителю и знаменателю несократимой дроби прибавили по 1. Обязательно ли она останется несократимой? Может ли она остаться несократимой?

Обязательно ли она останется несократимой?
Нет, не обязательно. После прибавления 1 к числителю и знаменателю несократимая дробь может стать сократимой.
Пусть дана несократимая дробь $a/b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа и их наибольший общий делитель $НОД(a, b) = 1$.
Новая дробь имеет вид $(a+1)/(b+1)$.
Эта дробь будет сократимой, если $НОД(a+1, b+1) > 1$.
Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя: $НОД(x, y) = НОД(x, y-x)$. Применительно к нашей задаче:
$НОД(a+1, b+1) = НОД(a+1, (b+1) - (a+1)) = НОД(a+1, b-a)$.
Следовательно, новая дробь будет сократимой, если у чисел $a+1$ и $b-a$ есть общий делитель, больший 1.
Приведем пример, когда это условие выполняется.
Рассмотрим несократимую дробь $3/5$. Здесь $a=3$, $b=5$. $НОД(3, 5)=1$.
Прибавим 1 к числителю и знаменателю: $(3+1)/(5+1) = 4/6$.
Дробь $4/6$ является сократимой, поскольку $НОД(4, 6) = 2$.
Проверим по выведенному условию: $a+1 = 4$, $b-a = 5-3=2$. $НОД(4, 2) = 2 > 1$, значит, дробь должна быть сократимой, что и подтверждается.
Ответ: Нет, не обязательно.

Может ли она остаться несократимой?
Да, может.
Дробь останется несократимой, если $НОД(a+1, b+1) = 1$. Как мы выяснили выше, это эквивалентно условию $НОД(a+1, b-a) = 1$.
Нужно найти такую несократимую дробь $a/b$, для которой это условие будет выполняться.
Приведем пример.
Рассмотрим несократимую дробь $1/2$. Здесь $a=1, b=2$. $НОД(1, 2)=1$.
Прибавим 1 к числителю и знаменателю: $(1+1)/(2+1) = 2/3$.
Дробь $2/3$ является несократимой, так как $НОД(2, 3) = 1$.
Проверим по условию: $a+1=2$, $b-a = 2-1=1$. $НОД(2, 1) = 1$, значит, дробь должна остаться несократимой.
Другой пример: дробь $4/7$. $НОД(4, 7)=1$.
Новая дробь: $(4+1)/(7+1) = 5/8$.
$НОД(5, 8)=1$, дробь осталась несократимой. Проверка по условию: $a+1=5$, $b-a=7-4=3$. $НОД(5, 3)=1$.
Ответ: Да, может.