Номер 522, страница 110, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

522 Сравни:

1) $\frac{13}{18}$ и $\frac{7}{9}$;

2) $\frac{2}{45}$ и $\frac{4}{89}$;

3) $\frac{20}{21}$ и $\frac{100}{101}$;

4) $\frac{29}{60}$ и $\frac{41}{80}$;

5) $\frac{36}{37}$ и $\frac{37}{36}$;

6) $\frac{15}{62}$ и $\frac{1515}{6262}$;

7) $\frac{48}{83}$ и $\frac{4847}{8383}$;

8) $\frac{125}{427}$ и $\frac{125126}{427427}$.

1) Чтобы сравнить дроби $ \frac{13}{18} $ и $ \frac{7}{9} $ , приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 9 равен 18.
Первая дробь уже имеет знаменатель 18: $ \frac{13}{18} $ .
Приведем вторую дробь к знаменателю 18: $ \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18} $ .
Теперь сравним числители дробей $ \frac{13}{18} $ и $ \frac{14}{18} $ . Так как $ 13 < 14 $ , то $ \frac{13}{18} < \frac{14}{18} $ .
Следовательно, $ \frac{13}{18} < \frac{7}{9} $ .
Ответ: $ \frac{13}{18} < \frac{7}{9} $ .

2) Для сравнения дробей $ \frac{2}{45} $ и $ \frac{4}{89} $ используем метод перекрестного умножения. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой.
Сравниваем $ 2 \cdot 89 $ и $ 45 \cdot 4 $ .
$ 2 \cdot 89 = 178 $ .
$ 45 \cdot 4 = 180 $ .
Поскольку $ 178 < 180 $ , то и первая дробь меньше второй.
Ответ: $ \frac{2}{45} < \frac{4}{89} $ .

3) Сравним дроби $ \frac{20}{21} $ и $ \frac{100}{101} $ . Обе дроби правильные и близки к 1. Сравним, какой дроби не хватает до единицы.
$ 1 - \frac{20}{21} = \frac{21}{21} - \frac{20}{21} = \frac{1}{21} $ .
$ 1 - \frac{100}{101} = \frac{101}{101} - \frac{100}{101} = \frac{1}{101} $ .
Теперь нужно сравнить "недостающие" части $ \frac{1}{21} $ и $ \frac{1}{101} $ . Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $ 21 < 101 $ , то $ \frac{1}{21} > \frac{1}{101} $ .
Это означает, что от единицы мы отнимаем больше в первом случае, значит, первая дробь меньше.
Ответ: $ \frac{20}{21} < \frac{100}{101} $ .

4) Чтобы сравнить дроби $ \frac{29}{60} $ и $ \frac{41}{80} $ , приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 60 и 80 это 240.
$ \frac{29}{60} = \frac{29 \cdot 4}{60 \cdot 4} = \frac{116}{240} $ .
$ \frac{41}{80} = \frac{41 \cdot 3}{80 \cdot 3} = \frac{123}{240} $ .
Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: так как $ 116 < 123 $ , то $ \frac{116}{240} < \frac{123}{240} $ .
Ответ: $ \frac{29}{60} < \frac{41}{80} $ .

5) Сравним дроби $ \frac{36}{37} $ и $ \frac{37}{36} $ .
Первая дробь $ \frac{36}{37} $ является правильной, так как ее числитель (36) меньше знаменателя (37). Любая правильная дробь меньше 1. $ \frac{36}{37} < 1 $ .
Вторая дробь $ \frac{37}{36} $ является неправильной, так как ее числитель (37) больше знаменателя (36). Любая такая неправильная дробь больше 1. $ \frac{37}{36} > 1 $ .
Поскольку одна дробь меньше 1, а другая больше 1, то первая дробь меньше второй.
Ответ: $ \frac{36}{37} < \frac{37}{36} $ .

6) Сравним дроби $ \frac{15}{62} $ и $ \frac{1515}{6262} $ .
Рассмотрим вторую дробь $ \frac{1515}{6262} $ . Заметим, что ее числитель и знаменатель можно разложить на множители:
$ 1515 = 15 \cdot 101 $ .
$ 6262 = 62 \cdot 101 $ .
Подставим эти разложения в дробь: $ \frac{1515}{6262} = \frac{15 \cdot 101}{62 \cdot 101} $ .
Сократим общий множитель 101 в числителе и знаменателе: $ \frac{15}{62} $ .
Получили, что вторая дробь равна первой.
Ответ: $ \frac{15}{62} = \frac{1515}{6262} $ .

7) Сравним дроби $ \frac{48}{83} $ и $ \frac{4847}{8383} $ .
Воспользуемся методом перекрестного умножения. Сравним произведения $ 48 \cdot 8383 $ и $ 83 \cdot 4847 $ .
Чтобы упростить вычисления, представим числа в виде суммы:
$ 48 \cdot 8383 = 48 \cdot (8300 + 83) = 48 \cdot 8300 + 48 \cdot 83 $ .
$ 83 \cdot 4847 = 83 \cdot (4800 + 47) = 83 \cdot 4800 + 83 \cdot 47 $ .
Заметим, что $ 48 \cdot 8300 = 48 \cdot 83 \cdot 100 $ и $ 83 \cdot 4800 = 83 \cdot 48 \cdot 100 $ . Эти части равны.
Значит, для сравнения исходных произведений достаточно сравнить оставшиеся части: $ 48 \cdot 83 $ и $ 83 \cdot 47 $ .
Так как $ 48 > 47 $ , то $ 48 \cdot 83 > 47 \cdot 83 $ .
Следовательно, $ 48 \cdot 8383 > 83 \cdot 4847 $ , а значит и первая дробь больше второй.
Ответ: $ \frac{48}{83} > \frac{4847}{8383} $ .

8) Сравним дроби $ \frac{125}{427} $ и $ \frac{125126}{427427} $ .
Преобразуем вторую дробь. Заметим структуру знаменателя:
$ 427427 = 427000 + 427 = 427 \cdot 1000 + 427 \cdot 1 = 427 \cdot (1000 + 1) = 427 \cdot 1001 $ .
Теперь посмотрим на числитель: $ 125126 = 125125 + 1 $ .
Заметим, что $ 125125 = 125000 + 125 = 125 \cdot 1000 + 125 \cdot 1 = 125 \cdot (1000+1) = 125 \cdot 1001 $ .
Тогда вторую дробь можно записать так:
$ \frac{125126}{427427} = \frac{125 \cdot 1001 + 1}{427 \cdot 1001} = \frac{125 \cdot 1001}{427 \cdot 1001} + \frac{1}{427 \cdot 1001} $ .
Сократив первую часть, получаем:
$ \frac{125}{427} + \frac{1}{427427} $ .
Таким образом, мы сравниваем $ \frac{125}{427} $ и $ \frac{125}{427} + \frac{1}{427427} $ .
Вторая дробь больше первой на положительное число $ \frac{1}{427427} $ .
Ответ: $ \frac{125}{427} < \frac{125126}{427427} $ .