Номер 521, страница 110, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

521 Сократи дробь с натуральным числителем и знаменателем:

1) $\frac{156-39}{390}$;

2) $\frac{27 \cdot 48+27 \cdot 3}{27 \cdot 48-27 \cdot 3}$;

3) $\frac{2^{2008}}{2^{2009}}$;

4) $\frac{x^{2010}}{x^{2008}}$;

5) $\frac{45ab}{5b^3}$;

6) $\frac{2m-6n}{5m-15n}$.

1) Для сокращения дроби $\frac{156-39}{390}$ сначала выполним действие в числителе:

$156 - 39 = 117$.

Получим дробь $\frac{117}{390}$.

Чтобы ее сократить, разложим числитель и знаменатель на множители. Заметим, что $156 = 4 \cdot 39$ и $390 = 10 \cdot 39$.

Тогда исходное выражение можно переписать:

$\frac{4 \cdot 39 - 1 \cdot 39}{10 \cdot 39} = \frac{(4-1) \cdot 39}{10 \cdot 39} = \frac{3 \cdot 39}{10 \cdot 39}$.

Сократив общий множитель 39, получаем $\frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

2) В дроби $\frac{27 \cdot 48 + 27 \cdot 3}{27 \cdot 48 - 27 \cdot 3}$ вынесем общий множитель 27 за скобки как в числителе, так и в знаменателе:

$\frac{27 \cdot (48+3)}{27 \cdot (48-3)}$.

Сократим общий множитель 27:

$\frac{48+3}{48-3}$.

Теперь выполним арифметические действия:

$\frac{51}{45}$.

Оба числа, 51 и 45, делятся на 3. Сократим дробь на 3:

$\frac{51 \div 3}{45 \div 3} = \frac{17}{15}$.

Ответ: $\frac{17}{15}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{2^{2008}}{2^{2009}}$ воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{2^{2008}}{2^{2009}} = 2^{2008-2009} = 2^{-1}$.

Степень с отрицательным показателем означает обратную величину: $2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Другой способ — представить знаменатель как $2^{2009} = 2^{2008} \cdot 2$. Тогда:

$\frac{2^{2008}}{2^{2008} \cdot 2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Для сокращения дроби $\frac{x^{2010}}{x^{2008}}$ (при условии, что $x \neq 0$) также используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{x^{2010}}{x^{2008}} = x^{2010-2008} = x^2$.

Ответ: $x^2$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{45ab}{5b^3}$, сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные отдельно (при $b \neq 0$).

Сокращаем числа: $\frac{45}{5} = 9$.

Сокращаем переменные: $\frac{b}{b^3} = \frac{b^1}{b^3} = \frac{1}{b^{3-1}} = \frac{1}{b^2}$.

Объединяем полученные результаты:

$\frac{45ab}{5b^3} = \frac{9a}{b^2}$.

Ответ: $\frac{9a}{b^2}$.

6) В дроби $\frac{2m-6n}{5m-15n}$ вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель 2: $2m-6n = 2(m-3n)$.

В знаменателе общий множитель 5: $5m-15n = 5(m-3n)$.

Дробь принимает вид: $\frac{2(m-3n)}{5(m-3n)}$.

При условии, что $m-3n \neq 0$, сокращаем на общий множитель $(m-3n)$:

$\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.