Номер 520, страница 110, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

520. К числителю и знаменателю сократимой дроби прибавили по 1. Может ли она остаться сократимой? Может ли она стать несократимой?

Может ли она остаться сократимой?

Да, может. Сократимая дробь может остаться сократимой после прибавления 1 к её числителю и знаменателю. Для примера рассмотрим сократимую дробь $\frac{3}{9}$. Она является сократимой, так как её числитель и знаменатель имеют общий делитель 3 (их наибольший общий делитель $\text{НОД}(3, 9) = 3$). Прибавим по 1 к числителю и знаменателю этой дроби: $\frac{3+1}{9+1} = \frac{4}{10}$. Полученная дробь $\frac{4}{10}$ также является сократимой, поскольку её числитель 4 и знаменатель 10 имеют общий делитель 2 ($\text{НОД}(4, 10) = 2$). Таким образом, исходная сократимая дробь осталась сократимой.
Ответ: да, может.

Может ли она стать несократимой?

Да, может. Сократимая дробь может стать несократимой после прибавления 1 к её числителю и знаменателю. В качестве примера возьмём сократимую дробь $\frac{2}{4}$. Она является сократимой, так как её числитель и знаменатель имеют общий делитель 2 ($\text{НОД}(2, 4) = 2$). Прибавим по 1 к числителю и знаменателю: $\frac{2+1}{4+1} = \frac{3}{5}$. Полученная дробь $\frac{3}{5}$ является несократимой, поскольку её числитель 3 и знаменатель 5 являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель $\text{НОД}(3, 5) = 1$). Таким образом, исходная сократимая дробь стала несократимой.
Ответ: да, может.