Номер 524, страница 110, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

524 Представь в виде дроби сумму или разность двух дробей, если значения всех переменных — натуральные числа:

1) $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$;

2) $\frac{3}{c} - \frac{9}{4c}$;

3) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$;

4) $\frac{m}{5n} + \frac{3m}{10n}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{2}{a}$ и $\frac{3}{b}$, их необходимо привести к общему знаменателю. Поскольку знаменатели $a$ и $b$ не имеют общих множителей (в общем случае), их наименьшим общим знаменателем будет их произведение $ab$. Дополнительным множителем для первой дроби является $b$, а для второй дроби — $a$.

$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = \frac{2 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{3 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{2b}{ab} + \frac{3a}{ab} = \frac{2b + 3a}{ab}$.

Ответ: $\frac{2b + 3a}{ab}$

2) Для нахождения разности дробей $\frac{3}{c}$ и $\frac{9}{4c}$ нужно привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $c$ и $4c$. Наименьшим общим знаменателем для них будет $4c$, так как $4c$ делится и на $c$, и на $4c$. Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{3}{c}$ равен $4c : c = 4$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{3}{c} - \frac{9}{4c} = \frac{3 \cdot 4}{c \cdot 4} - \frac{9}{4c} = \frac{12}{4c} - \frac{9}{4c} = \frac{12 - 9}{4c} = \frac{3}{4c}$.

Ответ: $\frac{3}{4c}$

3) Чтобы вычесть дробь $\frac{y}{x}$ из дроби $\frac{x}{y}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для $y$ и $x$ является их произведение $xy$. Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $y$.

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$.

Ответ: $\frac{x^2 - y^2}{xy}$

4) Для сложения дробей $\frac{m}{5n}$ и $\frac{3m}{10n}$ найдем их общий знаменатель. Знаменатели $5n$ и $10n$. Наименьшим общим знаменателем является $10n$, так как $10n$ делится на $5n$ ($10n : 5n = 2$). Дополнительный множитель для первой дроби равен 2. Вторая дробь не требует дополнительного множителя.

$\frac{m}{5n} + \frac{3m}{10n} = \frac{m \cdot 2}{5n \cdot 2} + \frac{3m}{10n} = \frac{2m}{10n} + \frac{3m}{10n} = \frac{2m + 3m}{10n} = \frac{5m}{10n}$.

Полученную дробь можно сократить, так как и числитель, и знаменатель делятся на 5. $\frac{5m}{10n} = \frac{5 \cdot m}{5 \cdot 2n} = \frac{m}{2n}$.

Ответ: $\frac{m}{2n}$