Номер 531, страница 111, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

531 Докажи утверждение, введя буквенные обозначения.

1) Если к двузначному числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, кратное 11.

2) Если трёхзначное число записано с помощью одной цифры, то оно делится на 37.

1) Обозначим цифру десятков двузначного числа как $a$, а цифру единиц как $b$. Тогда само число можно записать в виде $10a + b$. При этом $a$ — это целое число от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь $b$ десятков и $a$ единиц, то есть его можно записать как $10b + a$. Сложим эти два числа: $(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b$. Вынесем общий множитель за скобку: $11(a + b)$. Так как $a$ и $b$ — целые числа (цифры), их сумма $(a+b)$ также является целым числом. Полученное произведение $11(a+b)$ имеет множитель 11, следовательно, оно всегда кратно 11. Ответ: что и требовалось доказать.

2) Обозначим цифру, из которой состоит трёхзначное число, как $a$. Тогда само число можно записать как $aaa$. Эта цифра $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9. Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых: $100 \cdot a + 10 \cdot a + 1 \cdot a$. Упростим выражение, вынеся $a$ за скобки: $(100 + 10 + 1)a = 111a$. Чтобы доказать, что число делится на 37, проверим, делится ли на 37 число 111. Разделим 111 на 37: $111 \div 37 = 3$. Это означает, что $111 = 37 \cdot 3$. Подставим это в наше выражение: $111a = (37 \cdot 3) \cdot a = 37 \cdot (3a)$. Поскольку $a$ — целое число, то и $3a$ — целое число. Таким образом, исходное число всегда можно представить в виде произведения 37 на целое число, а это означает, что оно всегда делится на 37. Ответ: что и требовалось доказать.