Номер 532, страница 112, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

532 1) Прочитай определения и назови определяемые понятия:

Прямоугольным треугольником называется тре-угольник, один угол которого прямой.

Стороны прямоугольного треугольника, образу-ющие прямой угол, называются катетами.

Сторона прямоугольного треугольника, противоле-жащая прямому углу, называется гипотенузой.

2) Начерти прямоугольный треугольник. Измерь его непрямые углы и най-ди их сумму. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Что ты замечаешь? Можно ли полученное утверждение считать верным для любого прямоугольного треугольника? Попробуй его доказать.

3) Начерти прямоугольный треугольник. Соедини отрезком вершину пря-мого угла с серединой гипотенузы. Сравни по длине проведённый отрезок и гипотенузу. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Сформулируй гипотезу.

4) Начерти прямоугольный треугольник и проведи окружность, диаметром которой является его гипотенуза. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Сфор-мулируй гипотезу.

1) Прочитай определения и назови определяемые понятия:

В представленных в рамке определениях вводятся следующие основные понятия, связанные с прямоугольным треугольником:

• Прямоугольный треугольник
• Катеты
• Гипотенуза

Ответ: Определяемые понятия: прямоугольный треугольник, катеты, гипотенуза.

2) Начерти прямоугольный треугольник. Измерь его непрямые углы и найди их сумму. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Что ты замечаешь? Можно ли полученное утверждение считать верным для любого прямоугольного треугольника? Попробуй его доказать.

При проведении эксперимента и измерении непрямых (острых) углов в нескольких разных прямоугольных треугольниках можно заметить, что их сумма всегда оказывается равна $90^\circ$. Например, если один острый угол равен $30^\circ$, то второй будет равен $60^\circ$, и их сумма составит $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$. Если треугольник равнобедренный прямоугольный, то оба острых угла равны по $45^\circ$, и их сумма также равна $45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

Это утверждение, известное как свойство острых углов прямоугольного треугольника, верно для любого прямоугольного треугольника. Его можно доказать.

Доказательство:

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Обозначим углы прямоугольного треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\gamma$ – это прямой угол, то есть $\gamma = 90^\circ$. Тогда $\alpha$ и $\beta$ – это два острых угла.

Согласно теореме о сумме углов треугольника: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Подставим значение прямого угла $\gamma = 90^\circ$ в это равенство:

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$.

Вычтем $90^\circ$ из обеих частей уравнения:

$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ$.

$\alpha + \beta = 90^\circ$.

Таким образом, доказано, что сумма двух острых углов в любом прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$.

Ответ: Сумма непрямых углов прямоугольного треугольника всегда равна $90^\circ$. Это утверждение верно для любого прямоугольного треугольника, так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, и если вычесть из этой суммы прямой угол ($90^\circ$), то на два оставшихся острых угла придётся ровно $90^\circ$.

3) Начерти прямоугольный треугольник. Соедини отрезком вершину прямого угла с серединой гипотенузы. Сравни по длине проведённый отрезок и гипотенузу. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Сформулируй гипотезу.

Проведя эксперимент, можно заметить, что отрезок, соединяющий вершину прямого угла с серединой гипотенузы (этот отрезок называется медианой, проведенной к гипотенузе), по своей длине всегда равен половине длины гипотенузы. Если измерить длину медианы и длину гипотенузы, то окажется, что гипотенуза ровно в два раза длиннее медианы. Этот результат будет повторяться при каждом эксперименте с любым прямоугольным треугольником.

На основании этого наблюдения можно сформулировать следующую гипотезу.

Гипотеза: Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Ответ: Гипотеза: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

4) Начерти прямоугольный треугольник и проведи окружность, диаметром которой является его гипотенуза. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Сформулируй гипотезу.

Проведя эксперимент, мы строим окружность, для которой гипотенуза является диаметром. Центр этой окружности будет находиться в середине гипотенузы, а радиус будет равен половине гипотенузы. При построении такой окружности для разных прямоугольных треугольников можно заметить, что вершина прямого угла всегда оказывается на этой окружности.

Это наблюдение напрямую связано с гипотезой из предыдущего пункта. Расстояние от центра окружности (середины гипотенузы) до вершины прямого угла равно длине медианы, проведенной к гипотенузе. А так как эта медиана равна половине гипотенузы (то есть радиусу окружности), то вершина прямого угла находится на том же расстоянии от центра, что и концы гипотенузы. Это и означает, что она лежит на окружности.

На основании этого можно сформулировать следующую гипотезу.

Гипотеза: Вершина прямого угла прямоугольного треугольника лежит на окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре. (Это также означает, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы).

Ответ: Гипотеза: Вершина прямого угла прямоугольного треугольника всегда лежит на окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре.