Номер 534, страница 113, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

534 Найди значение выражения:

а) $\frac{1}{a + \frac{1}{a + \frac{1}{a+1}}}$, если $a = 2$;

б) $\frac{1}{b - \frac{1}{b - \frac{1}{b-1}}}$, если $b = 3$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{a + \frac{1}{a + \frac{1}{a+1}}}$ при $a = 2$, подставим заданное значение $a$ в выражение и выполним вычисления по действиям, начиная с самой внутренней части (самого нижнего знаменателя).

1. Подставляем $a = 2$ в выражение:

$\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2+1}}}$

2. Вычисляем значение в самом нижнем знаменателе:

$2 + 1 = 3$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3}}}$

3. Далее вычисляем следующий знаменатель:

$2 + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{7}{3}}}$

4. Упрощаем многоэтажную дробь. Деление на $\frac{7}{3}$ эквивалентно умножению на обратную дробь $\frac{3}{7}$:

$\frac{1}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7}$.

Выражение упрощается до:

$\frac{1}{2 + \frac{3}{7}}$

5. Вычисляем значение оставшегося знаменателя:

$2 + \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7}{7} + \frac{3}{7} = \frac{14+3}{7} = \frac{17}{7}$.

Выражение равно:

$\frac{1}{\frac{17}{7}}$

6. Находим окончательное значение, снова "переворачивая" дробь:

$\frac{1}{\frac{17}{7}} = \frac{7}{17}$.

Ответ: $\frac{7}{17}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{b - \frac{1}{b - \frac{1}{b-1}}}$ при $b = 3$, подставим заданное значение $b$ в выражение и выполним вычисления по действиям, начиная с самой внутренней части.

1. Подставляем $b = 3$ в выражение:

$\frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3-1}}}$

2. Вычисляем значение в самом нижнем знаменателе:

$3 - 1 = 2$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{2}}}$

3. Далее вычисляем следующий знаменатель:

$3 - \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6-1}{2} = \frac{5}{2}$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{1}{3 - \frac{1}{\frac{5}{2}}}$

4. Упрощаем многоэтажную дробь. Деление на $\frac{5}{2}$ эквивалентно умножению на обратную дробь $\frac{2}{5}$:

$\frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$.

Выражение упрощается до:

$\frac{1}{3 - \frac{2}{5}}$

5. Вычисляем значение оставшегося знаменателя:

$3 - \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{15-2}{5} = \frac{13}{5}$.

Выражение равно:

$\frac{1}{\frac{13}{5}}$

6. Находим окончательное значение, "переворачивая" дробь:

$\frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}$.