Номер 540, страница 114, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

540 1) Корней, Матвей и Пантелей измеряли длину своих бород. Выяснилось, что у Корнея длина бороды равна $b$ см, и она составляет $\frac{8}{9}$ длины бороды Матвея. Борода Матвея по длине составляет $\frac{3}{32}$ бороды Пантелея. Во сколько раз у Пантелея борода длиннее, чем у Корнея? Зависит ли ответ от значения $b$?

2) Собака гонится за зайцем. За минуту собака делает 200 скачков, что составляет $\frac{2}{3}$ числа скачков, которые делает за минуту заяц. Длина заячьего скачка равна 90 см, что составляет $\frac{3}{5}$ длины собачьего скачка. С какими скоростями бегут собака и заяц? Каким станет расстояние между ними через 5 мин, если сейчас заяц впереди собаки на 500 м?

1) Обозначим длину бороды Корнея как $L_K$, Матвея как $L_M$, а Пантелея как $L_P$.

По условию, длина бороды Корнея $L_K = b$ см. Также известно, что длина бороды Корнея составляет $\frac{8}{9}$ длины бороды Матвея:

$L_K = \frac{8}{9} L_M$

Отсюда мы можем выразить длину бороды Матвея через длину бороды Корнея:

$L_M = L_K \div \frac{8}{9} = L_K \times \frac{9}{8} = \frac{9}{8} L_K$

Далее, борода Матвея по длине составляет $\frac{3}{32}$ бороды Пантелея:

$L_M = \frac{3}{32} L_P$

Выразим длину бороды Пантелея через длину бороды Матвея:

$L_P = L_M \div \frac{3}{32} = L_M \times \frac{32}{3} = \frac{32}{3} L_M$

Теперь подставим в это выражение найденное ранее соотношение для $L_M$, чтобы выразить $L_P$ через $L_K$:

$L_P = \frac{32}{3} \times (\frac{9}{8} L_K) = \frac{32 \times 9}{3 \times 8} L_K$

Упростим полученный коэффициент:

$\frac{32 \times 9}{3 \times 8} = \frac{4 \times 8 \times 3 \times 3}{3 \times 8} = 4 \times 3 = 12$

Таким образом, мы получаем соотношение $L_P = 12 L_K$. Это означает, что борода Пантелея в 12 раз длиннее бороды Корнея.

Чтобы ответить на вопрос, зависит ли ответ от значения $b$, посмотрим на найденное отношение $\frac{L_P}{L_K} = 12$. Поскольку $L_K = b$, мы можем записать $\frac{L_P}{b} = 12$. Отношение длин не зависит от конкретного значения $b$, оно всегда равно 12. Следовательно, ответ не зависит от значения $b$.

Ответ: борода Пантелея длиннее бороды Корнея в 12 раз. Ответ не зависит от значения $b$.

2) Для решения задачи необходимо найти скорости собаки и зайца, а затем рассчитать изменение расстояния между ними.

1. Найдем количество скачков зайца в минуту.

Собака делает 200 скачков в минуту, что составляет $\frac{2}{3}$ от числа скачков зайца. Пусть $N_З$ - число скачков зайца в минуту.

$200 = \frac{2}{3} N_З$

$N_З = 200 \div \frac{2}{3} = 200 \times \frac{3}{2} = 300$ скачков в минуту.

2. Найдем длину скачка собаки.

Длина заячьего скачка равна 90 см, что составляет $\frac{3}{5}$ длины собачьего скачка. Пусть $L_С$ - длина скачка собаки.

$90 = \frac{3}{5} L_С$

$L_С = 90 \div \frac{3}{5} = 90 \times \frac{5}{3} = 150$ см.

3. Вычислим скорости собаки и зайца в метрах в минуту.

Скорость - это расстояние, пройденное за единицу времени.

Скорость зайца ($V_З$):

$V_З = (\text{число скачков в минуту}) \times (\text{длина скачка}) = 300 \times 90 \text{ см/мин} = 27000$ см/мин.

В метрах в минуту: $27000 \text{ см/мин} = 270$ м/мин.

Скорость собаки ($V_С$):

$V_С = (\text{число скачков в минуту}) \times (\text{длина скачка}) = 200 \times 150 \text{ см/мин} = 30000$ см/мин.

В метрах в минуту: $30000 \text{ см/мин} = 300$ м/мин.

4. Найдем расстояние между ними через 5 минут.

Изначально заяц впереди собаки на 500 м. Так как собака бежит быстрее зайца, она будет его догонять. Найдем скорость сближения:

$V_{сбл} = V_С - V_З = 300 \text{ м/мин} - 270 \text{ м/мин} = 30$ м/мин.

За 5 минут расстояние между ними сократится на:

$\Delta S = V_{сбл} \times t = 30 \text{ м/мин} \times 5 \text{ мин} = 150$ м.

Новое расстояние между ними будет равно начальному расстоянию минус расстояние, на которое они сблизились:

$S_{нов} = 500 \text{ м} - 150 \text{ м} = 350$ м.

Ответ: скорость собаки – 300 м/мин, скорость зайца – 270 м/мин. Через 5 минут расстояние между ними станет 350 м.