Номер 547, страница 115, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

547 Какие из высказываний являются общими, а какие — типа «хотя бы один»?

Определи их истинность. Докажи или опровергни их.

1) Все прямоугольные треугольники являются равнобедренными.

2) Существуют равнобедренные прямоугольные треугольники.

3) Некоторые прямоугольные треугольники имеют ось симметрии.

4) Любой прямоугольный треугольник имеет ось симметрии.

1) Все прямоугольные треугольники являются равнобедренными.
Это высказывание является общим, так как оно делает утверждение обо всех без исключения прямоугольных треугольниках (использовано слово «все»).
Высказывание ложно.
Опровержение: Чтобы опровергнуть общее высказывание, достаточно привести один контрпример. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a=3$ и $b=4$. По теореме Пифагора его гипотенуза $c$ будет равна $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Стороны этого треугольника равны 3, 4 и 5. Так как у него нет двух равных сторон, он не является равнобедренным. Это доказывает, что не все прямоугольные треугольники являются равнобедренными.
Ответ: общее, ложное.

2) Существуют равнобедренные прямоугольные треугольники.
Это высказывание относится к типу «хотя бы один», поскольку оно утверждает о существовании как минимум одного объекта с указанным свойством (использовано слово «существуют»).
Высказывание истинно.
Доказательство: Чтобы доказать такое высказывание, достаточно привести один пример. Рассмотрим треугольник, у которого два катета равны, например, $a = b = 1$. Такой треугольник является равнобедренным. Углы при основании (гипотенузе) в этом треугольнике равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, один угол прямой ($90^\circ$), следовательно, два других угла равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Таким образом, треугольник с углами $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$ существует, и он является одновременно прямоугольным и равнобедренным.
Ответ: типа «хотя бы один», истинное.

3) Некоторые прямоугольные треугольники имеют ось симметрии.
Это высказывание относится к типу «хотя бы один», так как слово «некоторые» подразумевает существование хотя бы одного такого треугольника.
Высказывание истинно.
Доказательство: Треугольник имеет ось симметрии, если он является равнобедренным или равносторонним. Равносторонний треугольник не может быть прямоугольным, так как все его углы равны $60^\circ$. Как было доказано в пункте 2, существуют равнобедренные прямоугольные треугольники. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является осью симметрии. В равнобедренном прямоугольном треугольнике основанием является гипотенуза, а высота, проведенная к ней из вершины прямого угла, делит треугольник на две равные (конгруэнтные) части и является его осью симметрии.
Ответ: типа «хотя бы один», истинное.

4) Любой прямоугольный треугольник имеет ось симметрии.
Это высказывание является общим, так как слово «любой» означает, что свойство должно выполняться для всех без исключения прямоугольных треугольников.
Высказывание ложно.
Опровержение: Как и для пункта 1, приведем в качестве контрпримера прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Этот треугольник является разносторонним, так как все его стороны имеют разную длину. Разносторонний треугольник не имеет осей симметрии. Следовательно, утверждение о том, что любой прямоугольный треугольник имеет ось симметрии, является ложным.
Ответ: общее, ложное.