Номер 554, страница 116, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

554 После того как туристы прошли 1 км и половину оставшегося пути, им ещё осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен путь?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это общая длина всего пути в километрах.

1. Сначала туристы прошли 1 км. После этого им осталось пройти $x - 1$ км.

2. Затем они прошли половину оставшегося пути. Это составляет $\frac{x-1}{2}$ км.

3. После того как они прошли 1 км и половину остатка, путь, который им еще осталось пройти, равен второй половине остатка, то есть тоже $\frac{x-1}{2}$ км.

4. По условию задачи, это оставшееся расстояние равно "трети всего пути и 1 км". Математически это можно выразить как $\frac{x}{3} + 1$ км.

5. Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для оставшегося пути:

$\frac{x-1}{2} = \frac{x}{3} + 1$

6. Для решения уравнения найдем общий знаменатель для дробей (это 6) и умножим на него обе части уравнения, чтобы избавиться от знаменателей:

$6 \cdot \frac{x-1}{2} = 6 \cdot \left(\frac{x}{3} + 1\right)$

$3(x-1) = 2x + 6$

7. Раскроем скобки и решим уравнение:

$3x - 3 = 2x + 6$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$3x - 2x = 6 + 3$

$x = 9$

Таким образом, длина всего пути составляет 9 км.

Проверка:

Весь путь равен 9 км.

Туристы прошли 1 км, осталось $9 - 1 = 8$ км.

Затем они прошли половину оставшегося пути, то есть $8 \div 2 = 4$ км.

Им осталось пройти: $9 - 1 - 4 = 4$ км.

По условию, им осталось пройти треть всего пути и 1 км: $\frac{9}{3} + 1 = 3 + 1 = 4$ км.

Поскольку $4 = 4$, решение верно.

Ответ: 9 км.