Номер 556, страница 116, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

556 Найди произведение.

$(1-\frac{1}{4})\cdot(1-\frac{1}{9})\cdot(1-\frac{1}{16})\cdot \ldots \cdot(1-\frac{1}{225}).$

Данное выражение представляет собой произведение нескольких множителей. Заметим, что знаменатели дробей 4, 9, 16, ..., 225 являются полными квадратами последовательных натуральных чисел, начиная с 2:

$4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $16 = 4^2$, ..., $225 = 15^2$.

Это позволяет переписать исходное произведение в следующем виде:

$(1 - \frac{1}{2^2}) \cdot (1 - \frac{1}{3^2}) \cdot (1 - \frac{1}{4^2}) \cdot \ldots \cdot (1 - \frac{1}{15^2})$

Каждый член этого произведения можно преобразовать, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Для любого члена вида $(1 - \frac{1}{k^2})$ имеем:

$1 - \frac{1}{k^2} = (1 - \frac{1}{k}) \cdot (1 + \frac{1}{k})$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$(1 - \frac{1}{k}) \cdot (1 + \frac{1}{k}) = \frac{k-1}{k} \cdot \frac{k+1}{k} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$

Применим это преобразование ко всем множителям в исходном выражении. Произведение примет вид:

$\frac{(2-1)(2+1)}{2 \cdot 2} \cdot \frac{(3-1)(3+1)}{3 \cdot 3} \cdot \frac{(4-1)(4+1)}{4 \cdot 4} \cdot \ldots \cdot \frac{(15-1)(15+1)}{15 \cdot 15}$

Вычислим значения в скобках:

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \ldots \cdot \frac{14 \cdot 16}{15 \cdot 15}$

Чтобы найти значение этого произведения, можно перегруппировать множители. Такое произведение называется телескопическим, так как большинство членов сокращается. Разделим его на две части:

$\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{14}{15}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{16}{15}\right)$

Рассмотрим первую группу множителей. Здесь числитель каждой дроби сокращается со знаменателем следующей:

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{14}}{15} = \frac{1}{15}$

Теперь рассмотрим вторую группу множителей. Здесь знаменатель каждой дроби сокращается с числителем предыдущей:

$\frac{\cancel{3}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \ldots \cdot \frac{16}{\cancel{15}} = \frac{16}{2}$

Для получения окончательного ответа перемножим результаты, полученные для каждой группы:

$\frac{1}{15} \cdot \frac{16}{2} = \frac{16}{30}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{16 \div 2}{30 \div 2} = \frac{8}{15}$

Ответ: $\frac{8}{15}$.