Номер 560, страница 121, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

560 1) Двум операторам было поручено набрать на компьютере рукопись. Первый оператор набрал $ \frac{3}{7} $ всей рукописи, а второй за то же время - $ \frac{5}{14} $ всей рукописи. Сколько страниц в рукописи, если первый оператор набрал на 7 страниц больше, чем второй?

2) Автотурист проехал в первый день $ \frac{2}{5} $ намеченного пути, а во второй день - остальной путь. Какой путь он проехал в каждый из этих дней, если известно, что в первый день он проехал на 80 км меньше, чем во второй?

1)

Пусть $x$ — общее количество страниц в рукописи.
Первый оператор набрал $\frac{3}{7}x$ страниц.
Второй оператор набрал $\frac{5}{14}x$ страниц.
Из условия известно, что первый оператор набрал на 7 страниц больше, чем второй. Составим уравнение:
$\frac{3}{7}x - \frac{5}{14}x = 7$
Приведем дроби к общему знаменателю 14:
$\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2}x - \frac{5}{14}x = 7$
$\frac{6}{14}x - \frac{5}{14}x = 7$
$\frac{1}{14}x = 7$
Теперь найдем общее количество страниц $x$:
$x = 7 \cdot 14$
$x = 98$
Таким образом, в рукописи 98 страниц.
Проверка: Первый оператор набрал $\frac{3}{7} \cdot 98 = 42$ страницы. Второй набрал $\frac{5}{14} \cdot 98 = 35$ страниц. Разница $42 - 35 = 7$ страниц, что соответствует условию.
Ответ: в рукописи 98 страниц.

2)

Пусть $x$ — весь намеченный путь в километрах.
В первый день автотурист проехал $\frac{2}{5}$ пути, то есть $\frac{2}{5}x$ км.
Во второй день он проехал остальной путь. Найдем, какую часть пути составляет остаток:
$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
Значит, во второй день он проехал $\frac{3}{5}x$ км.
По условию, в первый день он проехал на 80 км меньше, чем во второй. Это значит, что разница между путем второго и первого дня составляет 80 км. Составим уравнение:
$\frac{3}{5}x - \frac{2}{5}x = 80$
$\frac{1}{5}x = 80$
Теперь найдем весь путь $x$:
$x = 80 \cdot 5$
$x = 400$ км.
Весь путь составляет 400 км. Теперь найдем, какой путь он проехал в каждый из дней:
Путь в первый день: $\frac{2}{5} \cdot 400 = 2 \cdot 80 = 160$ км.
Путь во второй день: $\frac{3}{5} \cdot 400 = 3 \cdot 80 = 240$ км.
Проверка: $240 - 160 = 80$ км, что соответствует условию.
Ответ: в первый день автотурист проехал 160 км, во второй — 240 км.