Номер 553, страница 116, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

553 Докажи, что среди пяти произвольных натуральных чисел найдутся хотя

* бы два числа, разность которых кратна четырём.

Для доказательства этого утверждения используется принцип Дирихле.

Рассмотрим остатки, которые могут получиться при делении натурального числа на 4. Любое натуральное число $n$ можно представить в виде $n = 4q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток. Возможными остатками при делении на 4 являются числа 0, 1, 2, 3. Таким образом, существует всего 4 различных возможных остатка.

В задаче даны пять произвольных натуральных чисел. Будем рассматривать эти пять чисел как "голубей", а четыре возможных остатка (0, 1, 2, 3) как "клетки".

Согласно принципу Дирихле, если количество "голубей" (5) превышает количество "клеток" (4), то по крайней мере в одной "клетке" окажется более одного "голубя". В нашем случае это означает, что как минимум два из пяти натуральных чисел будут иметь одинаковый остаток при делении на 4.

Пусть $a$ и $b$ — это два числа из заданного набора, которые имеют одинаковый остаток $r$ при делении на 4. Это можно записать в виде уравнений:
$a = 4k_1 + r$
$b = 4k_2 + r$
где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа (неполные частные).

Теперь найдем разность этих двух чисел:
$a - b = (4k_1 + r) - (4k_2 + r) = 4k_1 + r - 4k_2 - r = 4k_1 - 4k_2 = 4(k_1 - k_2)$.

Поскольку $k_1$ и $k_2$ являются целыми числами, их разность $(k_1 - k_2)$ также является целым числом. Обозначим $k = k_1 - k_2$. Тогда разность $a - b = 4k$. Это выражение показывает, что разность чисел $a$ и $b$ делится на 4 без остатка, то есть кратна четырём.

Таким образом, доказано, что среди любых пяти натуральных чисел всегда найдутся два, разность которых кратна четырём.

Ответ: Утверждение доказано.