Номер 563, страница 122, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

563 1) Петя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 10% от первоначальной массы. После второго откусывания она составила 160 г. Какой она была вначале? За сколько откусываний Петя при этих условиях доест пирожок?

2) В соответствии с экологическими нормами необходимо провести плановую вырубку деревьев в городском парке так, чтобы после вырубки осталось 750 деревьев. Для этого сначала вырубили $ \frac{3}{13} $ всех деревьев, а потом – ещё $ \frac{2}{17} $ того, что осталось. Сколько деревьев было в парке первоначально?

1)

Эта задача состоит из двух частей. Сначала найдем первоначальную массу пирожка, а затем — за сколько откусываний Петя его съест.

Часть 1: Нахождение первоначальной массы.

Пусть $M_0$ — первоначальная масса пирожка.
По условию, после каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 10% от первоначальной массы.
Масса одного откусывания составляет $0.1 \times M_0$.
После первого откусывания масса пирожка стала $M_1 = M_0 - 0.1 \times M_0 = 0.9 \times M_0$.
После второго откусывания было откушено ещё 10% от первоначальной массы, то есть масса уменьшилась ещё на $0.1 \times M_0$.
Масса после второго откусывания: $M_2 = M_1 - 0.1 \times M_0 = (M_0 - 0.1 \times M_0) - 0.1 \times M_0 = M_0 - 2 \times (0.1 \times M_0) = M_0 \times (1 - 0.2) = 0.8 \times M_0$.
Мы знаем, что после второго откусывания масса составила 160 г, то есть $M_2 = 160$ г.
Составим уравнение:
$0.8 \times M_0 = 160$
$M_0 = \frac{160}{0.8} = \frac{1600}{8} = 200$ г.
Таким образом, первоначальная масса пирожка была 200 г.

Часть 2: Нахождение количества откусываний.

Каждое откусывание уменьшает массу на $10\%$ от первоначальной, то есть на $0.1 \times 200 = 20$ г.
Чтобы съесть весь пирожок массой 200 г, нужно совершить столько откусываний, чтобы общая съеденная масса стала равна 200 г.
Пусть $n$ — количество откусываний. Тогда:
$n \times 20 = 200$
$n = \frac{200}{20} = 10$.
Пете потребуется 10 откусываний, чтобы доесть пирожок.

Ответ: первоначальная масса пирожка была 200 г; Петя доест пирожок за 10 откусываний.

2)

Пусть $x$ — первоначальное количество деревьев в парке.

Сначала вырубили $\frac{3}{13}$ всех деревьев. Количество вырубленных деревьев на этом этапе: $\frac{3}{13}x$.
Количество деревьев, оставшихся после первой вырубки: $x - \frac{3}{13}x = \frac{13}{13}x - \frac{3}{13}x = \frac{10}{13}x$.

Затем вырубили ещё $\frac{2}{17}$ от того, что осталось. То есть, вырубили $\frac{2}{17}$ от $\frac{10}{13}x$.
Количество деревьев, вырубленных на втором этапе: $\frac{2}{17} \times \left(\frac{10}{13}x\right) = \frac{20}{221}x$.

Чтобы найти, сколько деревьев осталось в итоге, нужно из количества деревьев после первой вырубки вычесть количество, вырубленное во второй раз.
Или, что проще, найти, какая часть деревьев осталась после второй вырубки. Если вырубили $\frac{2}{17}$ от оставшихся, то осталось $1 - \frac{2}{17} = \frac{15}{17}$ от этого количества.
Итоговое количество деревьев: $\frac{15}{17} \times \left(\frac{10}{13}x\right) = \frac{150}{221}x$.

По условию, после всех вырубок осталось 750 деревьев. Составим уравнение:
$\frac{150}{221}x = 750$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{221}{150}$:
$x = 750 \times \frac{221}{150}$
$x = \frac{750}{150} \times 221$
$x = 5 \times 221$
$x = 1105$
Первоначально в парке было 1105 деревьев.

Ответ: 1105 деревьев.