Номер 568, страница 123, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

568 1) Велосипедист проехал $\frac{1}{4}$ часть пути и ещё 12 км, и ему осталось проехать $\frac{3}{8}$ пути и ещё 9 км. Сколько километров составил весь путь?

2) Возвращаясь из Москвы домой на поезде, пассажир по рассеянности про-ехал свою станцию, а когда сошёл на следующей, то рассчитал, что поезду осталось пройти $\frac{13}{24}$ всего своего пути, а ему придётся проехать обратно 14 км.

Чему равна длина пути поезда, если станция, на которой жил пассажир, удалена от Москвы на расстояние $\frac{1}{3}$ всего пути?

1)

Пусть $x$ км — это длина всего пути. Согласно условию, пройденная часть пути равна $\frac{1}{4}x + 12$ км, а оставшаяся часть — $\frac{3}{8}x + 9$ км. Сумма этих двух частей составляет весь путь. Составим и решим уравнение:
$(\frac{1}{4}x + 12) + (\frac{3}{8}x + 9) = x$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и константы:
$\frac{1}{4}x + \frac{3}{8}x + 12 + 9 = x$
Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{2}{8}x + \frac{3}{8}x + 21 = x$
$\frac{5}{8}x + 21 = x$
Перенесем слагаемые с переменной в одну часть уравнения:
$x - \frac{5}{8}x = 21$
$\frac{3}{8}x = 21$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{21 \cdot 8}{3}$
$x = 7 \cdot 8$
$x = 56$
Таким образом, весь путь составил 56 км.

Ответ: 56 км.

2)

Пусть $x$ км — это вся длина пути поезда. Станция, на которой жил пассажир, удалена от Москвы на расстояние $\frac{1}{3}$ всего пути, то есть на $\frac{1}{3}x$ км.
Пассажир проехал свою станцию и сошел на следующей. Поскольку ему придется ехать обратно 14 км, расстояние между его станцией и станцией, где он сошел, равно 14 км. Следовательно, он сошел с поезда на расстоянии $\frac{1}{3}x + 14$ км от Москвы.
В этот момент поезду осталось пройти $\frac{13}{24}$ всего пути. Это значит, что поезд уже прошел расстояние, равное $1 - \frac{13}{24} = \frac{11}{24}$ всего пути. Это расстояние составляет $\frac{11}{24}x$ км.
Мы получили два разных выражения для одного и того же расстояния (от Москвы до станции, где сошел пассажир). Приравняем их:
$\frac{1}{3}x + 14 = \frac{11}{24}x$
Чтобы решить уравнение, перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:
$14 = \frac{11}{24}x - \frac{1}{3}x$
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$14 = \frac{11}{24}x - \frac{8}{24}x$
$14 = \frac{3}{24}x$
Сократим дробь $\frac{3}{24}$:
$14 = \frac{1}{8}x$
Теперь найдем $x$:
$x = 14 \cdot 8$
$x = 112$
Длина всего пути поезда равна 112 км.

Ответ: 112 км.