Номер 573, страница 124, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

573 Старинная задача-шутка

Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол-яйца, второму — половину того, что у неё осталось, и ещё пол-яйца, третьему — половину нового остатка и ещё пол-яйца, наконец, четвёртому половину того, что осталось от прежней торговли, и ещё пол-яйца. После этого у неё ничего не осталось. Сколько она принесла яиц?

Эту задачу удобнее всего решать с конца, так как нам известен конечный результат — у крестьянки ничего не осталось, то есть 0 яиц.

Будем рассуждать в обратном порядке, от последнего покупателя к первому.

Пусть $x$ — это количество яиц, которое было у крестьянки перед тем, как она совершила продажу. Она продавала «половину того, что имела, и ещё пол-яйца», то есть $\frac{x}{2} + 0.5$. После этого у нее оставалось $x - (\frac{x}{2} + 0.5) = \frac{x}{2} - 0.5$ яиц. Отсюда можно вывести общую формулу для нахождения количества яиц, которое было до продажи: $x = (\text{остаток} + 0.5) \cdot 2$.

Четвёртый покупатель

После продажи четвёртому покупателю у крестьянки осталось 0 яиц. Чтобы найти, сколько яиц было до этой продажи, воспользуемся нашей формулой, подставив в качестве остатка 0:

Количество яиц до 4-го покупателя = $(0 + 0.5) \cdot 2 = 1$ яйцо.

Проверка: Имея 1 яйцо, она продала половину (0.5) и ещё пол-яйца (0.5), то есть $0.5 + 0.5 = 1$ яйцо. Осталось $1 - 1 = 0$ яиц. Верно.

Третий покупатель

Мы знаем, что до встречи с третьим покупателем у крестьянки было столько яиц, что после продажи ему у нее осталось 1 яйцо (это количество мы нашли в предыдущем шаге). Снова применяем формулу:

Количество яиц до 3-го покупателя = $(1 + 0.5) \cdot 2 = 3$ яйца.

Проверка: Имея 3 яйца, она продала половину (1.5) и ещё пол-яйца (0.5), то есть $1.5 + 0.5 = 2$ яйца. Осталось $3 - 2 = 1$ яйцо. Верно.

Второй покупатель

До встречи со вторым покупателем у нее было столько яиц, что после продажи осталось 3. Рассчитываем:

Количество яиц до 2-го покупателя = $(3 + 0.5) \cdot 2 = 7$ яиц.

Проверка: Имея 7 яиц, она продала половину (3.5) и ещё пол-яйца (0.5), то есть $3.5 + 0.5 = 4$ яйца. Осталось $7 - 4 = 3$ яйца. Верно.

Первый покупатель

Это последний шаг, который позволит нам найти исходное количество яиц. До встречи с первым покупателем у нее было столько яиц, что после продажи осталось 7. Рассчитываем:

Исходное количество яиц = $(7 + 0.5) \cdot 2 = 15$ яиц.

Проверка: Имея 15 яиц, она продала половину (7.5) и ещё пол-яйца (0.5), то есть $7.5 + 0.5 = 8$ яиц. Осталось $15 - 8 = 7$ яиц. Верно.

Таким образом, крестьянка принесла на рынок 15 яиц.

Ответ: 15 яиц.