Номер 578, страница 124, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

578 Одна из дробей:

$ \frac{9}{8}, \frac{4}{23}, \frac{5}{16}, \frac{33}{112}, \frac{3}{10}, \frac{6}{19}, \frac{7}{30} $

является несократимой записью дроби $ \frac{8532111}{28440370} $.

Какая именно?

Для того чтобы определить, какая из предложенных дробей является несократимой записью дроби $\frac{8532111}{28440370}$, необходимо найти такую дробь $\frac{a}{b}$ из списка, для которой выполняется равенство $\frac{8532111}{28440370} = \frac{a}{b}$. Это означает, что числитель $8532111$ должен быть равен $a \cdot k$, а знаменатель $28440370$ должен быть равен $b \cdot k$ для некоторого целого числа $k$. Следовательно, $8532111$ должно делиться на $a$, а $28440370$ — на $b$, причем частные от деления должны быть равны: $\frac{8532111}{a} = \frac{28440370}{b} = k$.

Проверим каждую из предложенных дробей:

• $\frac{9}{8}$: Эта дробь больше единицы, так как числитель больше знаменателя. Исходная дробь $\frac{8532111}{28440370}$ меньше единицы. Следовательно, эта дробь не подходит.

• $\frac{4}{23}$: Числитель $8532111$ должен делиться на $4$. Согласно признаку делимости на $4$, число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на $4$. У числа $8532111$ это число $11$, которое не делится на $4$. Значит, и $8532111$ не делится на $4$. Эта дробь не подходит.

• $\frac{5}{16}$: Числитель $8532111$ должен делиться на $5$. Согласно признаку делимости на $5$, число должно оканчиваться на $0$ или $5$. Число $8532111$ оканчивается на $1$, поэтому на $5$ не делится. Эта дробь не подходит.

• $\frac{33}{112}$: Числитель $8532111$ должен делиться на $33$, а значит, и на $3$, и на $11$. Проверим делимость на $3$ по сумме цифр: $8+5+3+2+1+1+1 = 21$. Так как $21$ делится на $3$, то и $8532111$ делится на $3$. Проверим делимость на $11$ по знакопеременной сумме цифр: $1-1+1-2+3-5+8 = 5$. Так как $5$ не делится на $11$, то и $8532111$ не делится на $11$. Следовательно, эта дробь не подходит.

• $\frac{3}{10}$: Проверим делимость числителя $8532111$ на $3$. Сумма цифр равна $21$, что делится на $3$, значит, и число делится на $3$.

  $8532111 \div 3 = 2844037$.

  Теперь проверим делимость знаменателя $28440370$ на $10$. Число оканчивается на $0$, значит, оно делится на $10$.

  $28440370 \div 10 = 2844037$.

  Частные от деления равны, значит, $\frac{8532111}{28440370} = \frac{3 \cdot 2844037}{10 \cdot 2844037} = \frac{3}{10}$. Дробь $\frac{3}{10}$ несократима, так как числа $3$ и $10$ взаимно просты. Это искомая дробь.

• $\frac{6}{19}$: Числитель $8532111$ должен делиться на $6$, а значит, на $2$ и $3$. Число $8532111$ нечетное, поэтому на $2$ не делится. Эта дробь не подходит.

• $\frac{7}{30}$: Знаменатель $28440370$ должен делиться на $30$, а значит, на $3$ и $10$. На $10$ он делится. Проверим делимость на $3$ по сумме цифр: $2+8+4+4+0+3+7+0 = 28$. Так как $28$ не делится на $3$, то и $28440370$ не делится на $30$. Эта дробь не подходит.

Таким образом, единственная подходящая дробь — это $\frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.