Номер 577, страница 124, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

577 Продолжи ряды на два числа, сохраняя закономерность. Уменьшаются или увеличиваются значения дробей в этих рядах?

1) $\frac{48}{80}, \frac{24}{40}, \frac{12}{20} \dots$

2) $\frac{2}{3}, \frac{6}{9}, \frac{18}{27} \dots$

1)

Рассмотрим ряд дробей: $\frac{48}{80}, \frac{24}{40}, \frac{12}{20}, \dots$
Чтобы найти закономерность, проанализируем, как изменяются числители и знаменатели.
Числители: 48, 24, 12. Каждый следующий числитель в 2 раза меньше предыдущего: $48 \div 2 = 24$; $24 \div 2 = 12$.
Знаменатели: 80, 40, 20. Каждый следующий знаменатель также в 2 раза меньше предыдущего: $80 \div 2 = 40$; $40 \div 2 = 20$.
Следовательно, чтобы получить следующий член ряда, нужно разделить числитель и знаменатель предыдущего члена на 2.
Найдем четвертый член ряда:
Числитель: $12 \div 2 = 6$.
Знаменатель: $20 \div 2 = 10$.
Дробь: $\frac{6}{10}$.
Найдем пятый член ряда:
Числитель: $6 \div 2 = 3$.
Знаменатель: $10 \div 2 = 5$.
Дробь: $\frac{3}{5}$.
Теперь выясним, как изменяется значение дробей. Для этого приведем все дроби к простейшему виду, сократив их:
$\frac{48}{80} = \frac{48 \div 16}{80 \div 16} = \frac{3}{5}$
$\frac{24}{40} = \frac{24 \div 8}{40 \div 8} = \frac{3}{5}$
$\frac{12}{20} = \frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5}$
Как мы видим, все дроби в этом ряду равны одному и тому же значению $\frac{3}{5}$. Таким образом, значения дробей не увеличиваются и не уменьшаются, они остаются постоянными.
Ответ: Следующие два числа в ряду: $\frac{6}{10}$ и $\frac{3}{5}$. Значения дробей в ряду не изменяются.

2)

Рассмотрим ряд дробей: $\frac{2}{3}, \frac{6}{9}, \frac{18}{27}, \dots$
Найдем закономерность в этом ряду.
Числители: 2, 6, 18. Каждый следующий числитель в 3 раза больше предыдущего: $2 \times 3 = 6$; $6 \times 3 = 18$.
Знаменатели: 3, 9, 27. Каждый следующий знаменатель также в 3 раза больше предыдущего: $3 \times 3 = 9$; $9 \times 3 = 27$.
Следовательно, чтобы получить следующий член ряда, нужно умножить числитель и знаменатель предыдущего члена на 3.
Найдем четвертый член ряда:
Числитель: $18 \times 3 = 54$.
Знаменатель: $27 \times 3 = 81$.
Дробь: $\frac{54}{81}$.
Найдем пятый член ряда:
Числитель: $54 \times 3 = 162$.
Знаменатель: $81 \times 3 = 243$.
Дробь: $\frac{162}{243}$.
Теперь выясним, как изменяется значение дробей. Для этого сократим их:
$\frac{2}{3}$ (несократимая дробь)
$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$
$\frac{18}{27} = \frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3}$
Все дроби в ряду представляют собой разные формы записи одного и того же числа $\frac{2}{3}$. Согласно основному свойству дроби, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Значения дробей в ряду остаются постоянными.
Ответ: Следующие два числа в ряду: $\frac{54}{81}$ и $\frac{162}{243}$. Значения дробей в ряду не изменяются.