Номер 581, страница 125, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

581 Представь дробь $\frac{3}{5}$ в виде суммы, разности, произведения, частного двух дробей.

Задача состоит в том, чтобы представить дробь $\frac{3}{5}$ четырьмя различными способами: как сумму, разность, произведение и частное двух других дробей. Существует бесконечное множество решений для каждого случая, ниже приведены примеры для каждого из них.

В виде суммы

Чтобы представить дробь $\frac{3}{5}$ в виде суммы двух дробей, можно разложить её числитель на два слагаемых, оставив знаменатель без изменений. Например, представим числитель 3 как сумму двух чисел, например, $1$ и $2$.

Тогда мы получаем следующее равенство:

$\frac{3}{5} = \frac{1+2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$

Проверка: сложим дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{2}{5}$. Так как знаменатели одинаковы, складываем числители: $1 + 2 = 3$. Результат: $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$.

В виде разности

Чтобы представить дробь $\frac{3}{5}$ в виде разности двух дробей, нам нужно найти две дроби, пусть это будут $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, такие, что $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{3}{5}$.

Мы можем выбрать одну из дробей произвольно (например, уменьшаемое), а затем найти вторую. Возьмем в качестве уменьшаемого дробь $\frac{4}{5}$. Тогда нам нужно найти вычитаемое $x$ из уравнения:

$\frac{4}{5} - x = \frac{3}{5}$

Решая уравнение, находим $x = \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$.

Проверка: $\frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4-1}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5} = \frac{4}{5} - \frac{1}{5}$.

В виде произведения

Чтобы представить дробь $\frac{3}{5}$ в виде произведения двух дробей, нужно найти две дроби, которые при перемножении дают $\frac{3}{5}$.

Пусть искомые дроби — это $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Тогда $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} = \frac{3}{5}$.

Найдем одну из возможных пар. Например, если мы выберем дробь $\frac{3}{2}$ в качестве первого множителя, то второй множитель $x$ можно найти из уравнения: $\frac{3}{2} \times x = \frac{3}{5}$.

Решая это уравнение, получаем: $x = \frac{3}{5} \div \frac{3}{2} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.

Проверка: $\frac{3}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{2 \times 5} = \frac{6}{10}$. Сократив дробь на 2, получаем $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5} = \frac{3}{2} \times \frac{2}{5}$.

В виде частного

Чтобы представить дробь $\frac{3}{5}$ в виде частного двух дробей, нужно найти две дроби $\frac{a}{b}$ (делимое) и $\frac{c}{d}$ (делитель) такие, что $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{3}{5}$.

Сама дробь $\frac{3}{5}$ является частным от деления 3 на 5. Мы можем представить эти числа в виде дробей с одинаковым произвольным знаменателем, например, 2. То есть возьмем дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{2}$.

Найдем их частное:

$\frac{3}{2} \div \frac{5}{2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{3}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{2 \times 5} = \frac{6}{10}$

Сократив полученную дробь $\frac{6}{10}$ на 2, мы получим исходную дробь $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5} = \frac{3}{2} \div \frac{5}{2}$.