Номер 579, страница 125, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

579 Сократи дроби ($a \neq 0, x \neq 0$):

1) $\frac{5+40}{10}$;

2) $\frac{3 \cdot 28}{14 \cdot 9}$;

3) $\frac{25 \cdot 4 + 25 \cdot 6}{25 \cdot 9 - 25 \cdot 4}$;

4) $\frac{5^6}{5^7}$;

5) $\frac{x^9}{x^5}$;

6) $\frac{12ab}{18a^2}$.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{5 + 40}{10}$, сначала необходимо выполнить действие в числителе:
$5 + 40 = 45$.
В результате получаем дробь $\frac{45}{10}$.
Теперь сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5.
$\frac{45 \div 5}{10 \div 5} = \frac{9}{2}$.
Эту дробь можно также записать в виде десятичной дроби $4,5$ или смешанного числа $4\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{9}{2}$.

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{3 \cdot 28}{14 \cdot 9}$, удобно сокращать множители в числителе и знаменателе, не выполняя умножение.
Заметим, что 28 делится на 14 ($28 = 2 \cdot 14$), а 9 делится на 3 ($9 = 3 \cdot 3$).
Перепишем дробь и произведем сокращение:
$\frac{3 \cdot 28}{14 \cdot 9} = \frac{3 \cdot (2 \cdot 14)}{14 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{\cancel{3} \cdot 2 \cdot \cancel{14}}{\cancel{14} \cdot \cancel{3} \cdot 3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

3)

В дроби $\frac{25 \cdot 4 + 25 \cdot 6}{25 \cdot 9 - 25 \cdot 4}$ вынесем общий множитель 25 за скобки как в числителе, так и в знаменателе.
Числитель: $25 \cdot 4 + 25 \cdot 6 = 25 \cdot (4 + 6)$.
Знаменатель: $25 \cdot 9 - 25 \cdot 4 = 25 \cdot (9 - 4)$.
Дробь принимает вид: $\frac{25 \cdot (4 + 6)}{25 \cdot (9 - 4)}$.
Теперь можно сократить общий множитель 25.
$\frac{\cancel{25} \cdot (4 + 6)}{\cancel{25} \cdot (9 - 4)} = \frac{4 + 6}{9 - 4}$.
Выполним оставшиеся действия:
$\frac{10}{5} = 2$.
Ответ: 2.

4)

Для сокращения дроби со степенями $\frac{5^6}{5^7}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{5^6}{5^7} = 5^{6-7} = 5^{-1}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

5)

Для сокращения дроби $\frac{x^9}{x^5}$ (при $x \neq 0$) применим то же свойство степеней, что и в предыдущем примере: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{x^9}{x^5} = x^{9-5} = x^4$.
Ответ: $x^4$.

6)

Чтобы сократить дробь $\frac{12ab}{18a^2}$ (при $a \neq 0$), сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные.
Сокращаем коэффициенты: $\frac{12}{18}$. Наибольший общий делитель для 12 и 18 это 6.
$\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a}{a^2}$.
$\frac{a}{a^2} = \frac{a^1}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Переменная $b$ есть только в числителе, поэтому она там и остается.
Объединим все части:
$\frac{12ab}{18a^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot b = \frac{2b}{3a}$.
Ответ: $\frac{2b}{3a}$.