Номер 585, страница 125, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

585 В цехе не более 100 рабочих, треть из них женщины, 8 % рабочих имеют сокращённый рабочий день. Сколько в цехе рабочих? Сколько из них женщин и сколько имеют сокращённый рабочий день?

Пусть $N$ — общее число рабочих в цехе. Из условия задачи мы знаем:

1. Общее число рабочих не более 100, то есть $N \le 100$.
2. Число рабочих — это целое положительное число.
3. Треть рабочих — женщины. Это значит, что число женщин равно $N/3$. Так как число людей не может быть дробным, $N$ должно делиться на 3 без остатка.
4. 8% рабочих имеют сокращённый рабочий день. Это значит, что их количество равно $N \cdot \frac{8}{100} = N \cdot \frac{2}{25}$. Так как это тоже количество людей, оно должно быть целым числом, следовательно, $N$ должно делиться на 25 без остатка.

Итак, нам нужно найти число $N$, которое одновременно делится на 3 и на 25, и при этом не превышает 100.

Если число делится и на 3, и на 25, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Так как числа 3 и 25 взаимно простые, их НОК равно их произведению:

$НОК(3, 25) = 3 \cdot 25 = 75$.

Таким образом, число рабочих $N$ должно быть кратно 75. Давайте перечислим числа, кратные 75, которые не превышают 100: это только одно число — 75.

Теперь мы можем ответить на все вопросы задачи.

Сколько в цехе рабочих?

Исходя из вышеизложенных рассуждений, единственное возможное количество рабочих, удовлетворяющее всем условиям, — это 75.

Ответ: 75 рабочих.

Сколько из них женщин?

Количество женщин составляет треть от общего числа рабочих. Вычисляем:

$\frac{1}{3} \cdot 75 = 25$

Ответ: 25 женщин.

сколько имеют сокращённый рабочий день?

Количество рабочих с сокращённым днём составляет 8% от общего числа. Вычисляем:

$75 \cdot \frac{8}{100} = \frac{75 \cdot 8}{100} = \frac{600}{100} = 6$

Ответ: 6 рабочих.