Номер 590, страница 126, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

590 В прямоугольнике $ABCD$ проведены диагонали $AC$ и $BD$.

1) Сколько образовалось прямоугольных треугольников?

2) Укажи смежные углы, вертикальные углы.

3) $\angle AOB = 140^\circ$, $\angle OAB = 20^\circ$. Найди с помощью транспортира величину всех углов, образовавшихся на чертеже.

1) Сколько образовалось прямоугольных треугольников?

В прямоугольнике ABCD все углы при вершинах ($A, B, C, D$) прямые и равны $90^\circ$. Диагонали делят прямоугольник на четыре больших треугольника, у каждого из которых одна из сторон является стороной прямоугольника.

• Треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным, так как $\angle B = 90^\circ$.
• Треугольник $\triangle ADC$ является прямоугольным, так как $\angle D = 90^\circ$.
• Треугольник $\triangle BAD$ является прямоугольным, так как $\angle A = 90^\circ$.
• Треугольник $\triangle BCD$ является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$.

Треугольники, образованные пересечением диагоналей в центре ($\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$), не являются прямоугольными, так как их углы при вершине O не равны $90^\circ$ (например, по условию $\angle AOB = 140^\circ$).

Таким образом, на чертеже образовалось 4 прямоугольных треугольника.

Ответ: 4.

2) Укажи смежные углы, вертикальные углы.

При пересечении двух прямых (диагоналей AC и BD) образуются пары смежных и вертикальных углов.

Вертикальные углы (пары равных углов, расположенных друг напротив друга):

• $\angle AOB$ и $\angle COD$
• $\angle BOC$ и $\angle AOD$

Смежные углы (пары углов, которые вместе составляют развернутый угол $180^\circ$):

• $\angle AOB$ и $\angle BOC$
• $\angle BOC$ и $\angle COD$
• $\angle COD$ и $\angle DOA$
• $\angle DOA$ и $\angle AOB$

Ответ: Вертикальные углы: ($\angle AOB, \angle COD$) и ($\angle BOC, \angle AOD$). Смежные углы: ($\angle AOB, \angle BOC$), ($\angle BOC, \angle COD$), ($\angle COD, \angle DOA$), ($\angle DOA, \angle AOB$).

3) $\angle AOB = 140^\circ, \angle OAB = 20^\circ$. Найди с помощью транспортира величину всех углов, образовавшихся на чертеже.

Величины всех углов можно найти путем логических рассуждений и расчетов, используя свойства прямоугольника и треугольников. Данные из условия полностью определяют все углы на чертеже.

Свойство прямоугольника: диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что $AO = BO = CO = DO$.

1. Найдем углы при пересечении диагоналей в точке O:

• Из условия дано, что $\angle AOB = 140^\circ$.
• Угол $\angle COD$ является вертикальным углу $\angle AOB$, следовательно $\angle COD = \angle AOB = 140^\circ$.
• Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$, их сумма равна $180^\circ$. Значит, $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
• Угол $\angle AOD$ является вертикальным углу $\angle BOC$, следовательно $\angle AOD = \angle BOC = 40^\circ$.

2. Найдем углы в малых треугольниках:

• Треугольник AOB: он равнобедренный ($AO=BO$). Углы при основании равны. Так как $\angle OAB = 20^\circ$, то и $\angle OBA = 20^\circ$. Проверка: $20^\circ + 20^\circ + 140^\circ = 180^\circ$.
• Треугольник COD: он равнобедренный ($CO=DO$). Углы при основании равны: $\angle OCD = \angle ODC = (180^\circ - \angle COD) / 2 = (180^\circ - 140^\circ) / 2 = 40^\circ / 2 = 20^\circ$.
• Треугольник BOC: он равнобедренный ($BO=CO$). Углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - \angle BOC) / 2 = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 140^\circ / 2 = 70^\circ$.
• Треугольник AOD: он равнобедренный ($AO=DO$). Углы при основании равны: $\angle OAD = \angle ODA = (180^\circ - \angle AOD) / 2 = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 140^\circ / 2 = 70^\circ$.

Таким образом, мы нашли все углы, образовавшиеся на чертеже.

Ответ: Углы при точке пересечения диагоналей: $\angle AOB = 140^\circ, \angle BOC = 40^\circ, \angle COD = 140^\circ, \angle AOD = 40^\circ$.
Углы внутри треугольников (при вершинах прямоугольника):
$\angle OAB = 20^\circ, \angle OBA = 20^\circ$
$\angle OBC = 70^\circ, \angle OCB = 70^\circ$
$\angle OCD = 20^\circ, \angle ODC = 20^\circ$
$\angle ODA = 70^\circ, \angle OAD = 70^\circ$