Номер 597, страница 128, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

597 Сократи дроби, если значения всех переменных – натуральные числа:

1) $\frac{1680}{12600}$;

2) $\frac{75 \cdot 12 + 300}{75}$;

3) $\frac{17 \cdot 30 - 17 \cdot 15}{34 \cdot 15}$;

4) $\frac{k^6}{k^7}$;

5) $\frac{36an^2}{4abn}$;

6) $\frac{c + 3c}{12c}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{1680}{12600}$, будем последовательно делить числитель и знаменатель на их общие делители. Сначала сократим на 10, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе: $\frac{168}{1260}$. Оба числа четные, разделим их на 2: $\frac{168 \div 2}{1260 \div 2} = \frac{84}{630}$. Снова разделим на 2: $\frac{84 \div 2}{630 \div 2} = \frac{42}{315}$. Теперь проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя $4+2=6$ (делится на 3), сумма цифр знаменателя $3+1+5=9$ (делится на 3). Разделим на 3: $\frac{42 \div 3}{315 \div 3} = \frac{14}{105}$. Заметим, что $14 = 2 \cdot 7$ и $105 = 15 \cdot 7$. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{14 \div 7}{105 \div 7} = \frac{2}{15}$.
Ответ: $\frac{2}{15}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{75 \cdot 12 + 300}{75}$, можно вынести в числителе за скобки общий множитель. Заметим, что $300 = 4 \cdot 75$. Тогда числитель можно переписать так: $75 \cdot 12 + 75 \cdot 4 = 75 \cdot (12+4) = 75 \cdot 16$. Подставим это выражение в дробь: $\frac{75 \cdot 16}{75}$. Сократив на 75, получим 16. Другой способ - разбить дробь на сумму двух дробей: $\frac{75 \cdot 12}{75} + \frac{300}{75} = 12 + 4 = 16$.
Ответ: $16$.

3) В дроби $\frac{17 \cdot 30 - 17 \cdot 15}{34 \cdot 15}$ вынесем в числителе общий множитель 17 за скобки: $17 \cdot (30 - 15) = 17 \cdot 15$. Дробь примет вид $\frac{17 \cdot 15}{34 \cdot 15}$. Сократим дробь на 15: $\frac{17}{34}$. Так как $34 = 2 \cdot 17$, то $\frac{17}{2 \cdot 17} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{k^6}{k^7}$, воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Так как по условию $k$ – натуральное число, то $k \neq 0$. $\frac{k^6}{k^7} = k^{6-7} = k^{-1} = \frac{1}{k}$.
Ответ: $\frac{1}{k}$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{36an^2}{4abn}$, сократим отдельно числовые коэффициенты и каждую из переменных. Переменные $a, b, n$ – натуральные числа, поэтому они не равны нулю. Сокращаем коэффициенты: $\frac{36}{4} = 9$. Сокращаем переменные: $\frac{a}{a} = 1$, $\frac{n^2}{n} = n^{2-1} = n$. Переменная $b$ остается в знаменателе. Собирая все вместе, получаем: $\frac{36an^2}{4abn} = \frac{9 \cdot 1 \cdot n}{b} = \frac{9n}{b}$.
Ответ: $\frac{9n}{b}$.

6) В дроби $\frac{c + 3c}{12c}$ сначала упростим выражение в числителе: $c + 3c = 4c$. Дробь примет вид $\frac{4c}{12c}$. Так как $c$ – натуральное число, то $c \neq 0$, и мы можем сократить на $c$. Также сократим числовые коэффициенты: $\frac{4c}{12c} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.