Номер 601, страница 129, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

601 Подбери недостающие натуральные числа так, чтобы получились верные равенства, если известно, что дроби во всех равенствах правильные:

1) $\frac{1}{3} + \frac{\square}{9} = \frac{5}{\square};$

2) $\frac{2}{\square} - \frac{7}{15} = \frac{\square}{5};$

3) $\frac{4}{\square} - \frac{\square}{4} = \frac{1}{12}.$

1) Обозначим недостающие числа как $x$ (в числителе) и $y$ (в знаменателе): $\frac{1}{3} + \frac{x}{9} = \frac{5}{y}$.

По условию, все дроби являются правильными, то есть их числитель меньше знаменателя. Для дроби $\frac{x}{9}$ должно выполняться $x < 9$. Для дроби $\frac{5}{y}$ должно выполняться $y > 5$. Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x$ может быть от 1 до 8, а $y$ — 6 или больше.
Чтобы сложить дроби в левой части, приведем их к общему знаменателю 9:
$\frac{1}{3} + \frac{x}{9} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{x}{9} = \frac{3}{9} + \frac{x}{9} = \frac{3+x}{9}$.
Теперь равенство имеет вид: $\frac{3+x}{9} = \frac{5}{y}$.
Из этого равенства следует пропорция: $(3+x) \cdot y = 9 \cdot 5 = 45$.
Нам нужно найти такие натуральные $x$ и $y$, которые удовлетворяют этому уравнению и указанным выше условиям. Поскольку $1 \le x \le 8$, то выражение $3+x$ может принимать значения от $3+1=4$ до $3+8=11$.
Рассмотрим пары множителей, дающих в произведении 45: $1 \cdot 45$, $3 \cdot 15$, $5 \cdot 9$.
Проверим, может ли $3+x$ быть одним из этих множителей:

• Если $3+x=5$, то $x=2$. Это значение подходит, так как $1 \le 2 \le 8$. Тогда $y = \frac{45}{5} = 9$. Это значение тоже подходит, так как $9 > 5$. Проверяем дроби: $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{9}$ — правильные. Это решение подходит.
• Если $3+x=9$, то $x=6$. Это значение подходит ($1 \le 6 \le 8$). Тогда $y = \frac{45}{9} = 5$. Это значение не подходит, так как по условию $y > 5$ (дробь $\frac{5}{5}$ не является правильной).

Другие множители (1, 3, 15, 45) для $3+x$ не подходят, так как $x$ не будет в диапазоне от 1 до 8.
Следовательно, единственное решение: $x=2$, $y=9$.
Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$.

2) Обозначим недостающие числа как $x$ (в знаменателе) и $y$ (в числителе): $\frac{2}{x} - \frac{7}{15} = \frac{y}{5}$.
Условия для правильных дробей: $x > 2$ и $y < 5$. Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x \ge 3$, а $y \in \{1, 2, 3, 4\}$.
Выразим из уравнения уменьшаемое: $\frac{2}{x} = \frac{y}{5} + \frac{7}{15}$.
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 15:
$\frac{2}{x} = \frac{y \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{7}{15} = \frac{3y+7}{15}$.
Получаем равенство: $\frac{2}{x} = \frac{3y+7}{15}$.
Отсюда следует пропорция: $x \cdot (3y+7) = 2 \cdot 15 = 30$.
Подставим возможные значения $y$ из диапазона $\{1, 2, 3, 4\}$ и найдем $x$:

• Если $y=1$: $x \cdot (3 \cdot 1 + 7) = 30 \implies x \cdot 10 = 30 \implies x=3$. Значение $x=3$ удовлетворяет условию $x>2$. Это решение подходит.
• Если $y=2$: $x \cdot (3 \cdot 2 + 7) = 30 \implies x \cdot 13 = 30 \implies x = \frac{30}{13}$. Не является натуральным числом.
• Если $y=3$: $x \cdot (3 \cdot 3 + 7) = 30 \implies x \cdot 16 = 30 \implies x = \frac{30}{16}$. Не является натуральным числом.
• Если $y=4$: $x \cdot (3 \cdot 4 + 7) = 30 \implies x \cdot 19 = 30 \implies x = \frac{30}{19}$. Не является натуральным числом.

Единственное решение: $x=3$, $y=1$.
Ответ: $\frac{2}{3} - \frac{7}{15} = \frac{1}{5}$.

3) Обозначим недостающие числа как $x$ (в знаменателе) и $y$ (в числителе): $\frac{4}{x} - \frac{y}{4} = \frac{1}{12}$.
Условия для правильных дробей: $x > 4$ и $y < 4$. Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x \ge 5$, а $y \in \{1, 2, 3\}$.
Приведем все дроби к общему знаменателю $12x$:
$\frac{4 \cdot 12}{x \cdot 12} - \frac{y \cdot 3x}{4 \cdot 3x} = \frac{1 \cdot x}{12 \cdot x}$
$\frac{48}{12x} - \frac{3xy}{12x} = \frac{x}{12x}$
Приравниваем числители: $48 - 3xy = x$.
Выразим 48: $48 = x + 3xy = x(1+3y)$.
Подставим возможные значения $y$ из диапазона $\{1, 2, 3\}$ и найдем $x$:

• Если $y=1$: $48 = x(1+3 \cdot 1) \implies 48 = 4x \implies x=12$. Значение $x=12$ удовлетворяет условию $x>4$. Это решение подходит.
• Если $y=2$: $48 = x(1+3 \cdot 2) \implies 48 = 7x \implies x=\frac{48}{7}$. Не является натуральным числом.
• Если $y=3$: $48 = x(1+3 \cdot 3) \implies 48 = 10x \implies x=4.8$. Не является натуральным числом.

Единственное решение: $x=12$, $y=1$.
Ответ: $\frac{4}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.