Номер 607, страница 130, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

* C 607 Дано натуральное число а. Что больше:

а) $ \frac{a+1}{a} $ или $ \frac{a}{a+1} $;

б) $ \frac{a+1}{a} $ или $ \frac{a+3}{a+2} $?

а)

Чтобы сравнить дроби $ \frac{a+1}{a} $ и $ \frac{a}{a+1} $, можно рассмотреть их разность или преобразовать каждую из них.

Способ 1: Преобразование дробей.

Представим каждую дробь в виде суммы или разности целого числа и правильной дроби:

$ \frac{a+1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = 1 + \frac{1}{a} $

$ \frac{a}{a+1} = \frac{a+1-1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = 1 - \frac{1}{a+1} $

Поскольку $a$ — натуральное число, то $a \ge 1$. Это означает, что $ \frac{1}{a} > 0 $ и $ \frac{1}{a+1} > 0 $.

Следовательно, значение первой дроби $ 1 + \frac{1}{a} $ больше 1.

Значение второй дроби $ 1 - \frac{1}{a+1} $ меньше 1.

Любое число, большее единицы, всегда больше любого числа, меньшего единицы. Таким образом, $ 1 + \frac{1}{a} > 1 - \frac{1}{a+1} $, что означает $ \frac{a+1}{a} > \frac{a}{a+1} $.

Способ 2: Нахождение разности.

Вычтем вторую дробь из первой:

$ \frac{a+1}{a} - \frac{a}{a+1} = \frac{(a+1)(a+1)}{a(a+1)} - \frac{a \cdot a}{a(a+1)} = \frac{(a+1)^2 - a^2}{a(a+1)} $

Используя формулу разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $ или раскрыв скобки, упростим числитель:

$ (a+1)^2 - a^2 = (a^2+2a+1) - a^2 = 2a+1 $

Разность равна $ \frac{2a+1}{a(a+1)} $.

Так как $a$ — натуральное число, числитель $ 2a+1 $ и знаменатель $ a(a+1) $ всегда положительны. Значит, их частное тоже положительно.

Поскольку разность $ \frac{a+1}{a} - \frac{a}{a+1} > 0 $, то первая дробь больше второй.

Ответ: $ \frac{a+1}{a} > \frac{a}{a+1} $

б)

Чтобы сравнить дроби $ \frac{a+1}{a} $ и $ \frac{a+3}{a+2} $, также воспользуемся двумя способами.

Способ 1: Преобразование дробей.

Выделим целую часть в каждой дроби:

$ \frac{a+1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = 1 + \frac{1}{a} $

$ \frac{a+3}{a+2} = \frac{a+2+1}{a+2} = \frac{a+2}{a+2} + \frac{1}{a+2} = 1 + \frac{1}{a+2} $

Теперь задача сводится к сравнению выражений $ 1 + \frac{1}{a} $ и $ 1 + \frac{1}{a+2} $. Отбросив общую часть (единицу), нужно сравнить дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{a+2} $.

Поскольку $a$ — натуральное число, $ a \ge 1 $. Следовательно, $ a+2 > a $.

Для положительных чисел верно, что если знаменатель одной дроби больше знаменателя другой (при одинаковых числителях), то сама дробь меньше.

Из $ a+2 > a $ следует, что $ \frac{1}{a+2} < \frac{1}{a} $.

Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получаем: $ 1 + \frac{1}{a+2} < 1 + \frac{1}{a} $.

Таким образом, $ \frac{a+3}{a+2} < \frac{a+1}{a} $.

Способ 2: Нахождение разности.

Найдем разность дробей $ \frac{a+1}{a} - \frac{a+3}{a+2} $.

$ \frac{a+1}{a} - \frac{a+3}{a+2} = \frac{(a+1)(a+2)}{a(a+2)} - \frac{a(a+3)}{a(a+2)} = \frac{(a^2+3a+2) - (a^2+3a)}{a(a+2)} $

Упростив числитель, получаем: $ (a^2+3a+2) - (a^2+3a) = 2 $.

Разность равна $ \frac{2}{a(a+2)} $.

Так как $a$ — натуральное число, знаменатель $ a(a+2) $ всегда положителен. Числитель 2 также положителен.

Следовательно, разность $ \frac{2}{a(a+2)} $ положительна, что означает $ \frac{a+1}{a} > \frac{a+3}{a+2} $.

Ответ: $ \frac{a+1}{a} > \frac{a+3}{a+2} $