Номер 614, страница 134, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

614 1) Три экскаватора различной мощности могут вырыть котлован, работая отдельно: первый — за 10 дней, второй — за 12 дней, а третий - за 15 дней. За сколько времени они могут вырыть котлован, работая совместно?

2) Школа заказала в швейной мастерской спортивную форму для участников соревнований. Одна швея может выполнить весь заказ за 20 дней, второй для выполнения заказа требуется $\frac{3}{5}$ этого времени, а третьей – в $2\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем второй. За сколько времени могут выполнить весь заказ три швеи, работая совместно?

1)

Примем весь объем работы по рытью котлована за 1. Сначала определим производительность каждого экскаватора, то есть какую часть работы он выполняет за один день.

Производительность первого экскаватора составляет $1 \div 10 = \frac{1}{10}$ часть котлована в день.

Производительность второго экскаватора составляет $1 \div 12 = \frac{1}{12}$ часть котлована в день.

Производительность третьего экскаватора составляет $1 \div 15 = \frac{1}{15}$ часть котлована в день.

При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность:

$P_{общая} = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 10, 12 и 15 равно 60.

$\frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{6}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{6 + 5 + 4}{60} = \frac{15}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$

Таким образом, общая производительность трех экскаваторов составляет $\frac{1}{4}$ котлована в день. Чтобы найти время, за которое они выполнят всю работу вместе, нужно разделить всю работу (1) на общую производительность:

$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ дня.

Ответ: 4 дня.

2)

Примем весь заказ на пошив спортивной формы за 1. Сначала определим, сколько дней требуется каждой швее для выполнения всего заказа в одиночку.

Первая швея выполняет заказ за 20 дней.

Второй швее требуется $\frac{3}{5}$ этого времени. Найдем это время:

$20 \cdot \frac{3}{5} = \frac{20 \cdot 3}{5} = 4 \cdot 3 = 12$ дней.

Третьей швее требуется в $2\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем второй. Переведем $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. Найдем время для третьей швеи:

$12 \cdot \frac{5}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = 6 \cdot 5 = 30$ дней.

Теперь найдем производительность каждой швеи (какую часть заказа она выполняет за 1 день):

Производительность первой швеи: $\frac{1}{20}$ заказа в день.

Производительность второй швеи: $\frac{1}{12}$ заказа в день.

Производительность третьей швеи: $\frac{1}{30}$ заказа в день.

Найдем общую производительность при совместной работе, сложив их производительности:

$P_{общая} = \frac{1}{20} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 20, 12 и 30 равно 60.

$\frac{1}{20} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{5}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3 + 5 + 2}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$

Общая производительность трех швей составляет $\frac{1}{6}$ заказа в день. Чтобы найти, за сколько дней они выполнят заказ вместе, разделим всю работу (1) на общую производительность:

$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$ дней.

Ответ: 6 дней.