Номер 619, страница 135, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

619 1) Два мастера уложили плитку в цеху за 6 ч. Один из них работает в 3 раза быстрее, чем другой. За сколько дней мог бы уложить плитку в этом цеху каждый мастер, работая отдельно?

2) Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев за 12 дней. Сколько дней потребуется на выполнение этой работы одной первой бригаде, если она может выполнить её в $1 \frac{1}{2}$ раза быстрее, чем вторая?

1) Примем всю работу по укладке плитки за 1. Пусть $v_2$ (часть работы в час) — производительность более медленного мастера. Тогда производительность более быстрого мастера, который работает в 3 раза быстрее, равна $v_1 = 3v_2$. Их совместная производительность составляет $v_{общ} = v_1 + v_2 = 3v_2 + v_2 = 4v_2$. По условию, всю работу они выполняют за 6 часов. Составим уравнение, используя формулу $A = v \cdot t$ (Работа = Производительность × Время): $1 = 4v_2 \cdot 6$. Отсюда $24v_2 = 1$, и производительность медленного мастера $v_2 = \frac{1}{24}$ работы в час. Производительность быстрого мастера $v_1 = 3 \cdot \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$ работы в час. Теперь найдем время, которое потребуется каждому мастеру для выполнения всей работы в одиночку. Время для быстрого мастера: $t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/8} = 8$ часов. Время для медленного мастера: $t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{1/24} = 24$ часа. В вопросе требуется указать время в днях. Принимая, что в сутках 24 часа, переведем полученное время в дни: $t_1 = 8 \text{ часов} = \frac{8}{24} \text{ дня} = \frac{1}{3}$ дня. $t_2 = 24 \text{ часа} = 1$ день.
Ответ: быстрый мастер мог бы уложить плитку за $\frac{1}{3}$ дня, а медленный — за 1 день.

2) Примем всю работу по посадке деревьев за 1. Пусть $v_2$ (часть работы в день) — производительность второй бригады. Первая бригада может выполнить работу в $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ раза быстрее, чем вторая. Это означает, что ее производительность $v_1$ в $\frac{3}{2}$ раза больше производительности второй, то есть $v_1 = \frac{3}{2} v_2$. Работая совместно, их общая производительность составляет $v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{3}{2}v_2 + v_2 = \frac{5}{2}v_2$. По условию, всю работу они выполняют за 12 дней. Составим уравнение на основе формулы $A = v \cdot t$: $1 = v_{общ} \cdot 12$. Подставим выражение для общей производительности: $1 = (\frac{5}{2}v_2) \cdot 12$. Упростим уравнение: $1 = 5 \cdot 6 \cdot v_2$, то есть $1 = 30v_2$. Отсюда находим производительность второй бригады: $v_2 = \frac{1}{30}$ работы в день. Тогда производительность первой бригады: $v_1 = \frac{3}{2} \cdot v_2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{30} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ работы в день. Время, которое потребуется на выполнение этой работы одной первой бригаде, равно $t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/20} = 20$ дней.
Ответ: 20 дней.