Номер 622, страница 135, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

622 Из Санкт-Петербурга в Москву выехал пассажирский поезд. Одновременно с ним из Москвы в Санкт-Петербург выехал товарный поезд. Пассажирский поезд через 4 ч 48 мин после выезда встретил товарный и через 3 ч 12 мин после встречи прибыл в Москву. За сколько времени товарный поезд проходит путь от Москвы до Санкт-Петербурга?

Для решения задачи введем переменные и выразим все временные интервалы в одних единицах — часах. Пусть $v_п$ — скорость пассажирского поезда, а $v_т$ — скорость товарного поезда. Время движения до встречи поездов, $t_1$, составляет 4 ч 48 мин. Время, которое понадобилось пассажирскому поезду для завершения пути после встречи, $t_2$, составляет 3 ч 12 мин. Переведем это время в часы: $t_1 = 4 \text{ ч } 48 \text{ мин} = 4 + \frac{48}{60} \text{ ч} = 4 + \frac{4}{5} \text{ ч} = 4.8 \text{ ч}$; $t_2 = 3 \text{ ч } 12 \text{ мин} = 3 + \frac{12}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{1}{5} \text{ ч} = 3.2 \text{ ч}$.

Пусть поезда встретились в некоторой точке. Расстояние от Санкт-Петербурга до точки встречи ($S_{СП-встреча}$) пассажирский поезд проехал за время $t_1$, то есть $S_{СП-встреча} = v_п \cdot t_1$. Расстояние от Москвы до точки встречи ($S_{М-встреча}$) товарный поезд также проехал за время $t_1$, то есть $S_{М-встреча} = v_т \cdot t_1$.

После встречи пассажирский поезд проехал оставшееся расстояние $S_{М-встреча}$ за время $t_2$, откуда $S_{М-встреча} = v_п \cdot t_2$. Товарному поезду после встречи осталось проехать расстояние $S_{СП-встреча}$. Если он затратил на это время $t_3$, то $S_{СП-встреча} = v_т \cdot t_3$.

Теперь мы можем составить систему уравнений. Приравнивая выражения для одинаковых расстояний, получаем:

$v_т \cdot t_1 = v_п \cdot t_2$

$v_п \cdot t_1 = v_т \cdot t_3$

Из первого уравнения выразим отношение скоростей: $\frac{v_п}{v_т} = \frac{t_1}{t_2}$. Из второго уравнения также выразим отношение скоростей: $\frac{v_п}{v_т} = \frac{t_3}{t_1}$.

Приравняв правые части полученных равенств, получаем пропорцию: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{t_3}{t_1}$. Из этой пропорции выразим $t_3$ — время движения товарного поезда после встречи до прибытия в Санкт-Петербург: $t_3 = \frac{t_1^2}{t_2}$.

Подставим числовые значения $t_1 = 4.8$ и $t_2 = 3.2$ и вычислим $t_3$: $t_3 = \frac{4.8^2}{3.2} = \frac{23.04}{3.2} = 7.2$ часа.

Полное время $T_т$, которое товарный поезд затрачивает на весь путь от Москвы до Санкт-Петербурга, равно сумме времени движения до встречи ($t_1$) и времени движения после встречи ($t_3$). Таким образом, $T_т = t_1 + t_3 = 4.8 \text{ ч} + 7.2 \text{ ч} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.