Номер 629, страница 136, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

629 Что можно сказать о числителе дроби $\frac{p}{1000}$, если известно, что эта дробь:

а) сократима;

б) несократима?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проанализировать знаменатель дроби, число 1000. Разложим его на простые множители:
$1000 = 10 \times 100 = 10 \times 10^2 = 10^3 = (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$.
Простыми делителями числа 1000 являются только числа 2 и 5.

а) сократима
Дробь называется сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Это означает, что наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя больше 1.
$НОД(p, 1000) > 1$.
Поскольку простыми делителями числа 1000 являются только 2 и 5, то для того, чтобы дробь $\frac{p}{1000}$ была сократимой, числитель $p$ должен иметь хотя бы один общий простой делитель с числом 1000.
Следовательно, числитель $p$ должен делиться на 2 или на 5 (или на оба этих числа).
Если число делится на 2, оно является четным. Если число делится на 5, оно оканчивается на 0 или 5.
Таким образом, чтобы дробь была сократимой, числитель $p$ должен быть четным числом или числом, оканчивающимся на 5.
Ответ: Числитель $p$ должен быть кратен 2 или 5, то есть быть четным числом или числом, оканчивающимся на 5.

б) несократима
Дробь называется несократимой, если ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
$НОД(p, 1000) = 1$.
Это означает, что числитель $p$ не должен иметь общих простых делителей с числом 1000.
Простые делители числа 1000 — это 2 и 5. Следовательно, числитель $p$ не должен делиться ни на 2, ни на 5.
Если число не делится на 2, оно является нечетным.
Если число не делится на 5, оно не оканчивается ни на 0, ни на 5.
Совместив эти два условия, получаем, что $p$ — это нечетное число, которое не оканчивается на 5. Нечетные числа оканчиваются на 1, 3, 5, 7, 9. Исключив 5, получаем, что последняя цифра числа $p$ может быть 1, 3, 7 или 9.
Ответ: Числитель $p$ не должен делиться ни на 2, ни на 5. Это означает, что $p$ — нечетное число, которое не оканчивается на 5 (т.е. оканчивается на 1, 3, 7 или 9).