Номер 633, страница 137, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

633 Докажи, что дробь, в знаменателе у которой нет простых делителей, кроме 2 и 5, можно привести к знаменателю вида $10^n$, где $n \in N$.

Пусть дана дробь $\frac{a}{b}$. По условию, знаменатель $b$ в своем разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5. Это означает, что знаменатель $b$ можно представить в виде $b = 2^k \cdot 5^m$, где $k$ и $m$ — целые неотрицательные числа.

Наша цель — доказать, что дробь $\frac{a}{b}$ можно привести к дроби со знаменателем вида $10^n$, где $n$ — натуральное число. Знаменатель $10^n$ можно разложить на простые множители следующим образом:

$10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$

Чтобы превратить исходный знаменатель $b = 2^k \cdot 5^m$ в знаменатель вида $10^n$, необходимо, чтобы показатели степеней у множителей 2 и 5 были равны.

Выберем в качестве показателя $n$ наибольшее из чисел $k$ и $m$. То есть, пусть $n = \max(k, m)$. Так как $b$ является знаменателем дроби, он не может быть равен 0 или 1 в общем случае (если b=1, утверждение тривиально), поэтому хотя бы один из показателей $k$ или $m$ больше 0, и, следовательно, $n \in N$.

Теперь, чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно домножить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (дополнительный множитель). Этот множитель должен "уравнять" степени двоек и пятерок в знаменателе.

Дополнительный множитель будет равен $2^{n-k} \cdot 5^{n-m}$. Так как $n$ — это максимум из $k$ и $m$, то $n-k \ge 0$ и $n-m \ge 0$.

Выполним умножение:

$ \frac{a}{b} = \frac{a}{2^k \cdot 5^m} = \frac{a \cdot (2^{n-k} \cdot 5^{n-m})}{(2^k \cdot 5^m) \cdot (2^{n-k} \cdot 5^{n-m})} $

Рассмотрим знаменатель новой дроби:

$ (2^k \cdot 5^m) \cdot (2^{n-k} \cdot 5^{n-m}) = 2^{k+(n-k)} \cdot 5^{m+(n-m)} = 2^n \cdot 5^n = (2 \cdot 5)^n = 10^n $

Таким образом, мы преобразовали исходную дробь в эквивалентную ей дробь с новым числителем $a \cdot 2^{n-k} \cdot 5^{n-m}$ и знаменателем $10^n$. Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любую дробь, знаменатель которой имеет только простые делители 2 и 5, можно привести к знаменателю вида $10^n$ путем умножения числителя и знаменателя на соответствующий дополнительный множитель вида $2^p \cdot 5^q$.