Номер 634, страница 137, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

634 Что можно сказать о числе р, если известно, что дробь можно привести к знаменателю 1000:

а) $ \frac{p}{2^2 \cdot 5^3} $;

б) $ \frac{p}{3^2 \cdot 5^3} $;

в) $ \frac{p}{2^3 \cdot 5 \cdot 7} $;

г) $ \frac{p}{2 \cdot 5^7} $?

Для того чтобы обыкновенную дробь можно было привести к знаменателю 1000, необходимо, чтобы после ее возможного сокращения новый знаменатель являлся делителем числа 1000. Разложим число 1000 на простые множители, чтобы понять, какие делители у него могут быть:

$1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.

Это означает, что знаменатель дроби после сокращения может содержать в своем разложении на простые множители только числа 2 (в степени не выше 3) и 5 (в степени не выше 3). Если в исходном знаменателе есть другие простые множители (например, 3, 7, 11 и т.д.) или степени двойки и пятерки превышают 3, то числитель $p$ должен делиться на эти "лишние" множители, чтобы их можно было сократить.

а) $\frac{p}{2^2 \cdot 5^3}$
Знаменатель дроби равен $2^2 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500$. Его простые множители — это 2 и 5. Степень двойки (2) не превышает 3, и степень пятерки (3) не превышает 3. Таким образом, знаменатель $500$ является делителем числа $1000$ ($1000 = 500 \cdot 2$). Дробь можно привести к знаменателю 1000, домножив числитель и знаменатель на 2. Это возможно при любом целом значении $p$.
Ответ: $p$ — любое целое число.

б) $\frac{p}{3^2 \cdot 5^3}$
Знаменатель дроби равен $3^2 \cdot 5^3 = 9 \cdot 125 = 1125$. В разложении знаменателя на простые множители присутствует $3^2 = 9$. В разложении числа 1000 ($2^3 \cdot 5^3$) множителя 3 нет. Следовательно, чтобы дробь можно было привести к знаменателю 1000, множитель $3^2$ в знаменателе должен сократиться. Это произойдет только в том случае, если числитель $p$ делится на $3^2=9$.
Ответ: $p$ должно быть кратно 9.

в) $\frac{p}{2^3 \cdot 5 \cdot 7}$
Знаменатель дроби равен $2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 5 \cdot 7 = 280$. В разложении знаменателя на простые множители присутствует множитель 7. В разложении числа 1000 ($2^3 \cdot 5^3$) множителя 7 нет. Чтобы можно было привести дробь к знаменателю 1000, множитель 7 в знаменателе должен сократиться. Это возможно, только если числитель $p$ делится на 7.
Ответ: $p$ должно быть кратно 7.

г) $\frac{p}{2 \cdot 5^7}$
Знаменатель дроби равен $2 \cdot 5^7$. В разложении числа 1000 ($2^3 \cdot 5^3$) максимальная степень множителя 5 равна 3. В знаменателе данной дроби степень множителя 5 равна 7, что больше 3. Чтобы степень пятерки в знаменателе стала не больше 3, необходимо сократить дробь как минимум на $5^{7-3} = 5^4$. Для этого числитель $p$ должен делиться на $5^4 = 625$.
Ответ: $p$ должно быть кратно 625.