Номер 632, страница 137, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

632 Какие из дробей можно привести к знаменателю 1000:

$ \frac{7}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, \frac{3}{5}, \frac{41}{25}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5}, \frac{1}{2^2 \cdot 5^4}, \frac{1}{2^3 \cdot 5}, \frac{33}{15}, \frac{133}{35}, \frac{133}{49} $?

Для того чтобы обыкновенную дробь можно было привести к знаменателю 1000, необходимо, чтобы знаменатель этой дроби (после ее сокращения) являлся делителем числа 1000. Разложим число 1000 на простые множители: $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$. Это означает, что в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители могут присутствовать только множители 2 и 5, причем степень двойки не должна превышать 3, а степень пятерки также не должна превышать 3. Проверим каждую из предложенных дробей.

$\frac{7}{2}$
Знаменатель дроби равен $2$. Число $1000$ делится на $2$ без остатка ($1000 \div 2 = 500$). Следовательно, эту дробь можно привести к знаменателю $1000$.
$\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 500}{2 \cdot 500} = \frac{3500}{1000}$.
Ответ: можно.

$\frac{3}{4}$
Знаменатель дроби равен $4$. Число $1000$ делится на $4$ без остатка ($1000 \div 4 = 250$). Следовательно, эту дробь можно привести к знаменателю $1000$.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 250}{4 \cdot 250} = \frac{750}{1000}$.
Ответ: можно.

$\frac{3}{8}$
Знаменатель дроби равен $8$. Число $1000$ делится на $8$ без остатка ($1000 \div 8 = 125$). Следовательно, эту дробь можно привести к знаменателю $1000$.
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000}$.
Ответ: можно.

$\frac{3}{16}$
Знаменатель дроби равен $16$. Разложим знаменатель и число $1000$ на простые множители: $16 = 2^4$, а $1000 = 2^3 \cdot 5^3$. Так как степень двойки в знаменателе ($4$) больше, чем в разложении числа $1000$ ($3$), число $1000$ не делится на $16$ нацело. Следовательно, эту дробь нельзя привести к знаменателю $1000$.
Ответ: нельзя.

$\frac{3}{5}$
Знаменатель дроби равен $5$. Число $1000$ делится на $5$ без остатка ($1000 \div 5 = 200$). Следовательно, эту дробь можно привести к знаменателю $1000$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 200}{5 \cdot 200} = \frac{600}{1000}$.
Ответ: можно.

$\frac{41}{25}$
Знаменатель дроби равен $25$. Число $1000$ делится на $25$ без остатка ($1000 \div 25 = 40$). Следовательно, эту дробь можно привести к знаменателю $1000$.
$\frac{41}{25} = \frac{41 \cdot 40}{25 \cdot 40} = \frac{1640}{1000}$.
Ответ: можно.

$\frac{2}{3}$
Знаменатель дроби равен $3$. Так как в разложении числа $1000 = 2^3 \cdot 5^3$ на простые множители отсутствует множитель $3$, $1000$ не делится на $3$ нацело. Следовательно, эту дробь нельзя привести к знаменателю $1000$.
Ответ: нельзя.

$\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5}$
Вычислим знаменатель: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$. Число $1000$ делится на $200$ без остатка ($1000 \div 200 = 5$). Следовательно, эту дробь можно привести к знаменателю $1000$.
$\frac{1}{200} = \frac{1 \cdot 5}{200 \cdot 5} = \frac{5}{1000}$.
Ответ: можно.

$\frac{1}{2^2 \cdot 5^4}$
Вычислим знаменатель: $2^2 \cdot 5^4 = 4 \cdot 625 = 2500$. Разложение числа $1000$ это $2^3 \cdot 5^3$. Степень пятерки в знаменателе дроби ($4$) больше, чем в разложении числа $1000$ ($3$). Знаменатель $2500$ больше $1000$, поэтому дробь нельзя привести к знаменателю $1000$ умножением на целое число.
Ответ: нельзя.

$\frac{1}{2^3 \cdot 5}$
Вычислим знаменатель: $2^3 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$. Число $1000$ делится на $40$ без остатка ($1000 \div 40 = 25$). Следовательно, эту дробь можно привести к знаменателю $1000$.
$\frac{1}{40} = \frac{1 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{25}{1000}$.
Ответ: можно.

$\frac{33}{15}$
Сначала сократим дробь: $\frac{33}{15} = \frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 5} = \frac{11}{5}$. Знаменатель полученной дроби равен $5$. Число $1000$ делится на $5$ ($1000 \div 5 = 200$). Следовательно, эту дробь можно привести к знаменателю $1000$.
Ответ: можно.

$\frac{133}{35}$
Сначала сократим дробь. $133 = 7 \cdot 19$ и $35 = 7 \cdot 5$. $\frac{133}{35} = \frac{7 \cdot 19}{7 \cdot 5} = \frac{19}{5}$. Знаменатель полученной дроби равен $5$. Число $1000$ делится на $5$ ($1000 \div 5 = 200$). Следовательно, эту дробь можно привести к знаменателю $1000$.
Ответ: можно.

$\frac{133}{49}$
Сначала сократим дробь. $133 = 7 \cdot 19$ и $49 = 7 \cdot 7$. $\frac{133}{49} = \frac{7 \cdot 19}{7 \cdot 7} = \frac{19}{7}$. Знаменатель полученной дроби равен $7$. Так как в разложении числа $1000 = 2^3 \cdot 5^3$ на простые множители отсутствует множитель $7$, $1000$ не делится на $7$ нацело. Следовательно, эту дробь нельзя привести к знаменателю $1000$.
Ответ: нельзя.