Номер 626, страница 136, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

626 Реши уравнения:

1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{40}$;

2) $\frac{1}{\frac{3}{7}x} + \frac{1}{x} = \frac{5}{18}$;

3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{3\frac{1}{2}x} = \frac{3}{14}$

1)

Решим уравнение $ \frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{40} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$.
Чтобы сложить дроби в левой части, приведем их к общему знаменателю $2x$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$ \frac{1 \cdot 2}{x \cdot 2} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{40} $
$ \frac{2}{2x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{40} $
Теперь сложим дроби в левой части:
$ \frac{2+1}{2x} = \frac{3}{40} $
$ \frac{3}{2x} = \frac{3}{40} $
В полученной пропорции числители равны (и отличны от нуля), следовательно, знаменатели также должны быть равны:
$ 2x = 40 $
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$ x = \frac{40}{2} $
$ x = 20 $
Корень $x=20$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $20$.

2)

Решим уравнение $ \frac{1}{\frac{3}{7}x} + \frac{1}{x} = \frac{5}{18} $.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Упростим первое слагаемое. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$ \frac{1}{\frac{3}{7}x} = \frac{1}{\frac{3x}{7}} = \frac{7}{3x} $
Уравнение примет вид:
$ \frac{7}{3x} + \frac{1}{x} = \frac{5}{18} $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $3x$:
$ \frac{7}{3x} + \frac{1 \cdot 3}{x \cdot 3} = \frac{5}{18} $
$ \frac{7}{3x} + \frac{3}{3x} = \frac{5}{18} $
$ \frac{10}{3x} = \frac{5}{18} $
Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$ 10 \cdot 18 = 5 \cdot 3x $
$ 180 = 15x $
Найдем $x$:
$ x = \frac{180}{15} $
$ x = 12 $
Корень $x=12$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $12$.

3)

Решим уравнение $ \frac{1}{x} + \frac{1}{3\frac{1}{2}x} = \frac{3}{14} $.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.
Теперь упростим второе слагаемое:
$ \frac{1}{3\frac{1}{2}x} = \frac{1}{\frac{7}{2}x} = \frac{1}{\frac{7x}{2}} = \frac{2}{7x} $
Подставим полученное выражение в уравнение:
$ \frac{1}{x} + \frac{2}{7x} = \frac{3}{14} $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $7x$:
$ \frac{1 \cdot 7}{x \cdot 7} + \frac{2}{7x} = \frac{3}{14} $
$ \frac{7}{7x} + \frac{2}{7x} = \frac{3}{14} $
$ \frac{9}{7x} = \frac{3}{14} $
Воспользуемся свойством пропорции:
$ 9 \cdot 14 = 3 \cdot 7x $
$ 126 = 21x $
Найдем $x$:
$ x = \frac{126}{21} $
$ x = 6 $
Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $6$.