Номер 623, страница 135, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

623 Миша проезжает на велосипеде путь от дома до дачи за 30 мин, а его сестра – за 45 мин. Однажды по дороге на дачу Миша встретил сестру, выехавшую с дачи домой на 10 мин позже Миши. Через сколько времени после выезда сестры они встретились? Сколько времени после встречи с сестрой пришлось Мише ещё ехать до дачи? (Считать, что скорость Миши и его сестры не изменяется.)

Для решения задачи представим весь путь от дома до дачи как 1 (одну целую) часть.

1. Определим скорости Миши и его сестры как часть пути, преодолеваемую за одну минуту.

Миша проезжает весь путь за 30 минут, следовательно, его скорость $v_М$ равна:

$v_М = \frac{1}{30}$ пути/мин.

Сестра проезжает тот же путь за 45 минут, следовательно, её скорость $v_С$ равна:

$v_С = \frac{1}{45}$ пути/мин.

Через сколько времени после выезда сестры они встретились?

Миша выехал на 10 минут раньше сестры. За это время он проехал расстояние:

$S_1 = v_М \cdot 10 = \frac{1}{30} \cdot 10 = \frac{1}{3}$ пути.

Когда сестра начала движение от дачи, расстояние между ними составляло:

$S_2 = 1 - S_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ пути.

Миша и сестра едут навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_М + v_С = \frac{1}{30} + \frac{1}{45}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 90:

$v_{сбл} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ пути/мин.

Время до встречи с момента выезда сестры можно найти, разделив расстояние между ними на скорость сближения:

$t_{встречи} = \frac{S_2}{v_{сбл}} = \frac{2/3}{1/18} = \frac{2}{3} \cdot 18 = 2 \cdot 6 = 12$ минут.

Ответ: Они встретились через 12 минут после выезда сестры.

Сколько времени после встречи с сестрой пришлось Мише ещё ехать до дачи?

Найдем, сколько всего времени был в пути Миша до момента встречи. Он ехал 10 минут один и еще 12 минут до встречи с сестрой (время, которое мы нашли в предыдущем пункте).

Общее время Миши в пути до встречи: $t_{Миша\_до\_встречи} = 10 \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 22$ минуты.

Весь путь занимает у Миши 30 минут. Чтобы найти оставшееся время в пути, нужно из общего времени вычесть время, которое он уже проехал:

$t_{ост} = 30 \text{ мин} - 22 \text{ мин} = 8$ минут.

Ответ: После встречи с сестрой Мише пришлось ехать до дачи еще 8 минут.