Номер 617, страница 135, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

617 Две снегоуборочные машины могут убрать снег за 6 ч. После 3 ч совместной работы первую машину отправили в другой район города, а оставшаяся машина закончила уборку за 5 ч. За сколько часов каждая машина, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Примем всю работу по уборке снега за 1 (единицу).

Пусть $x$ — это время в часах, за которое первая машина может выполнить всю работу, работая отдельно, а $y$ — время в часах, за которое вторая машина может выполнить всю работу, работая отдельно.

Тогда производительность (скорость работы) первой машины равна $\frac{1}{x}$ часть работы в час, а производительность второй машины — $\frac{1}{y}$ часть работы в час.

Согласно условию, две машины, работая вместе, могут убрать весь снег за 6 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей, то есть $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Поскольку всю работу они выполняют за 6 часов, их совместная производительность также равна $\frac{1}{6}$ работы в час. Составим первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Машины работали вместе 3 часа. За это время они выполнили часть работы, равную их совместной производительности, умноженной на время:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \times 3 = \frac{1}{6} \times 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Таким образом, за 3 часа совместной работы была выполнена половина всей работы. Оставшаяся часть работы составляет:

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Эту оставшуюся половину работы вторая машина закончила в одиночку за 5 часов. Следовательно, производительность второй машины можно найти, разделив объем выполненной работы на время:

$\frac{1}{y} = \frac{1/2}{5} = \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10}$

Из этого следует, что время $y$, за которое вторая машина может выполнить всю работу самостоятельно, равно 10 часам.

Теперь, зная, что $y=10$, мы можем найти $x$ из первого уравнения, подставив в него значение для $y$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{10} = \frac{1}{6}$

Выразим $\frac{1}{x}$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}$

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю, который равен 30:

$\frac{1}{x} = \frac{5 \times 1}{5 \times 6} - \frac{3 \times 1}{3 \times 10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Следовательно, время $x$, за которое первая машина может выполнить всю работу самостоятельно, равно 15 часам.

Ответ: первая снегоуборочная машина может выполнить всю работу за 15 часов, а вторая — за 10 часов.