Номер 610, страница 131, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

610* Два ученика купили себе по книге. До покупки у первого ученика было на

60 р. больше, чем у второго, а после покупки денег у них стало поровну.

Первый затратил на покупку книги $\frac{2}{3}$ своих денег, а второй $\frac{5}{9}$ своих

денег. Сколько рублей каждый из учеников заплатил за свою книгу?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ рублей — это сумма денег, которая была у второго ученика до покупки. Тогда, согласно условию, у первого ученика было $x + 60$ рублей.

Первый ученик потратил на книгу $\frac{2}{3}$ своих денег. Сумма, которую он потратил, составляет:

$\frac{2}{3} \times (x + 60)$ рублей.

После покупки у него осталось:

$(x + 60) - \frac{2}{3}(x + 60) = (1 - \frac{2}{3})(x + 60) = \frac{1}{3}(x + 60)$ рублей.

Второй ученик потратил на книгу $\frac{5}{9}$ своих денег. Сумма, которую он потратил, составляет:

$\frac{5}{9} \times x$ рублей.

После покупки у него осталось:

$x - \frac{5}{9}x = (1 - \frac{5}{9})x = \frac{4}{9}x$ рублей.

По условию, после покупки денег у учеников стало поровну. Составим и решим уравнение:

$\frac{1}{3}(x + 60) = \frac{4}{9}x$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 9:

$9 \times \frac{1}{3}(x + 60) = 9 \times \frac{4}{9}x$

$3(x + 60) = 4x$

Раскроем скобки:

$3x + 180 = 4x$

Перенесем $3x$ в правую часть уравнения:

$180 = 4x - 3x$

$x = 180$

Итак, у второго ученика изначально было 180 рублей. Тогда у первого ученика было $180 + 60 = 240$ рублей.

Теперь найдем, сколько каждый из учеников заплатил за свою книгу.

Сколько заплатил первый ученик:

Он потратил $\frac{2}{3}$ от своих 240 рублей:

$\frac{2}{3} \times 240 = 2 \times \frac{240}{3} = 2 \times 80 = 160$ рублей.

Ответ: 160 рублей.

Сколько заплатил второй ученик:

Он потратил $\frac{5}{9}$ от своих 180 рублей:

$\frac{5}{9} \times 180 = 5 \times \frac{180}{9} = 5 \times 20 = 100$ рублей.

Ответ: 100 рублей.