Номер 609, страница 130, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

609 Старинная задача

Шли три крестьянина и зашли в избу отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картошку, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить, а поставила миску с едой и ушла. Проснулся один крестьянин, съел третью часть картофелин и снова заснул. Вскоре проснулся другой. Ему невдомёк было, что один из мужиков уже взял свою долю. Поэтому он отсчитал третью часть оставшихся картофелин, съел их и заснул. После чего проснулся третий. Полагая, что он проснулся первый, он тоже взял с тарелки только третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что на тарелке осталось 8 картофелин. Тогда только и объяснилось дело. Сколько картошки подала на стол хозяйка?

Задачу удобнее всего решать с конца, выполняя обратные действия.

1. В самом конце на тарелке осталось 8 картофелин. Эти 8 картофелин — то, что осталось после того, как третий крестьянин взял свою треть. Следовательно, 8 картофелин составляют $ \frac{2}{3} $ от того количества, которое было перед ним. Чтобы найти, сколько картофелин было до того, как поел третий крестьянин, нужно 8 разделить на $ \frac{2}{3} $.

$8 \div \frac{2}{3} = 8 \times \frac{3}{2} = \frac{24}{2} = 12$ картофелин.

2. Итак, до третьего крестьянина было 12 картофелин. Это количество осталось после того, как второй крестьянин съел свою треть. Значит, 12 картофелин — это $ \frac{2}{3} $ от того, что было до него. Вычислим, сколько картофеля было до второго крестьянина:

$12 \div \frac{2}{3} = 12 \times \frac{3}{2} = \frac{36}{2} = 18$ картофелин.

3. До второго крестьянина было 18 картофелин. Это, в свою очередь, то, что осталось после того, как первый крестьянин съел свою треть. Таким образом, 18 картофелин составляют $ \frac{2}{3} $ от первоначального количества. Найдем, сколько картофеля хозяйка подала на стол изначально:

$18 \div \frac{2}{3} = 18 \times \frac{3}{2} = \frac{54}{2} = 27$ картофелин.

Можно также решить задачу с помощью уравнения. Пусть $ x $ — первоначальное количество картофелин.

После первого крестьянина осталось: $ x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x $.

После второго крестьянина осталось: $ \frac{2}{3} \times (\frac{2}{3}x) = \frac{4}{9}x $.

После третьего крестьянина осталось: $ \frac{2}{3} \times (\frac{4}{9}x) = \frac{8}{27}x $.

По условию, это количество равно 8. Составим и решим уравнение:

$ \frac{8}{27}x = 8 $
$ x = 8 \times \frac{27}{8} $
$ x = 27 $

Ответ: хозяйка подала на стол 27 картофелин.