Номер 613, страница 134, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

613 1) Для разравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая машина может выполнить всю работу за 36 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней могут выполнить всю работу обе машины, работая совместно?

2) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковая машина. Автобус проезжает весь путь за 12 ч, а легковая машина – за 6 ч. Через сколько времени они встретятся?

1) Для решения этой задачи примем весь объем работы по разравниванию дороги за 1 условную единицу.

Производительность первой машины — это часть работы, которую она выполняет за один день. Она составляет:
$P_1 = \frac{1}{36}$ работы/день.

Производительность второй машины составляет:
$P_2 = \frac{1}{45}$ работы/день.

Когда машины работают вместе, их производительности складываются. Найдем их общую производительность $P_{общ}$:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{36} + \frac{1}{45}$.

Чтобы сложить дроби, найдем для них общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для чисел 36 и 45 равно 180.
$36 = 4 \cdot 9$
$45 = 5 \cdot 9$
НОК(36, 45) = $4 \cdot 5 \cdot 9 = 180$.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:
$P_{общ} = \frac{5}{180} + \frac{4}{180} = \frac{9}{180}$.

Сократим полученную дробь:
$P_{общ} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}$.

Таким образом, работая вместе, обе машины выполняют $\frac{1}{20}$ часть всей работы за один день. Чтобы найти время $t$, необходимое для выполнения всей работы, нужно разделить всю работу (1) на общую производительность:

$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{20}} = 20$ дней.

Ответ: 20 дней.

2) Для решения этой задачи примем все расстояние между городами за 1 условную единицу.

Скорость автобуса — это часть пути, которую он проезжает за один час. Она равна:
$v_{авт} = \frac{1}{12}$ пути/час.

Скорость легковой машины равна:
$v_{легк} = \frac{1}{6}$ пути/час.

Так как автобус и машина движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Эта суммарная скорость называется скоростью сближения $v_{сбл}$:
$v_{сбл} = v_{авт} + v_{легк} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 12 и сложим их:
$v_{сбл} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3}{12}$.

Сократим полученную дробь:
$v_{сбл} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Скорость сближения составляет $\frac{1}{4}$ всего пути в час. Это значит, что за 1 час автобус и машина вместе преодолевают четверть расстояния между городами. Чтобы найти время $t$, через которое они встретятся, нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения:

$t = \frac{1}{v_{сбл}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.