Номер 616, страница 134, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

616 1) К ванне проведены два крана. Через один кран ванна может наполниться за 12 мин, а через другой – в $1 \frac{1}{2}$ раза быстрее. За сколько минут наполнится $\frac{5}{6}$ ванны, если открыть сразу оба крана?

2) Плавательный бассейн наполняется двумя трубами при их совместной работе за 48 мин. Через первую трубу бассейн может наполниться за 2 ч. За сколько времени наполнится бассейн на $\frac{3}{4}$ его объёма только через одну вторую трубу?

1)
Сначала найдем время, за которое второй кран может наполнить всю ванну. Если он делает это в $1\frac{1}{2}$ раза быстрее, значит, ему требуется меньше времени. Разделим время первого крана на $1\frac{1}{2}$:
$12 : 1\frac{1}{2} = 12 : \frac{3}{2} = 12 \cdot \frac{2}{3} = \frac{24}{3} = 8$ минут.
Теперь определим производительность (скорость наполнения) каждого крана, то есть какую часть ванны каждый кран наполняет за 1 минуту. Примем объем всей ванны за 1.
Производительность первого крана: $\frac{1}{12}$ ванны в минуту.
Производительность второго крана: $\frac{1}{8}$ ванны в минуту.
Найдем их совместную производительность, сложив их производительности:
$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24}$ ванны в минуту.
Это означает, что работая вместе, оба крана за 1 минуту наполняют $\frac{5}{24}$ часть ванны.
Теперь найдем, за сколько минут они наполнят $\frac{5}{6}$ ванны. для этого разделим необходимый объем на совместную производительность:
$\frac{5}{6} : \frac{5}{24} = \frac{5}{6} \cdot \frac{24}{5} = \frac{24}{6} = 4$ минуты.
Ответ: за 4 минуты.

2)
Сначала приведем все единицы времени к минутам. В условии дано время работы первой трубы в часах.
$2$ ч = $2 \cdot 60 = 120$ минут.
Примем весь объем бассейна за 1. Найдем производительность (скорость наполнения) двух труб вместе и первой трубы в отдельности.
Совместная производительность двух труб: $\frac{1}{48}$ бассейна в минуту.
Производительность первой трубы: $\frac{1}{120}$ бассейна в минуту.
Чтобы найти производительность второй трубы, нужно из совместной производительности вычесть производительность первой трубы:
$\frac{1}{48} - \frac{1}{120} = \frac{5}{240} - \frac{2}{240} = \frac{3}{240} = \frac{1}{80}$ бассейна в минуту.
Это производительность второй трубы. Следовательно, чтобы наполнить весь бассейн (1), второй трубе понадобится 80 минут.
Нам нужно найти время, за которое вторая труба наполнит бассейн на $\frac{3}{4}$ его объема. для этого умножим время наполнения полного бассейна на требуемую долю:
$80 \cdot \frac{3}{4} = \frac{80 \cdot 3}{4} = 20 \cdot 3 = 60$ минут.
60 минут - это 1 час.
Ответ: за 60 минут (или 1 час).