Номер 620, страница 135, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

620 Первый насос может выкачать всю воду из котлована за 36 ч, а второй – в 2 раза быстрее. После того как они, работая вместе, выкачали $\frac{1}{3}$ всей воды, второй насос сломался, и остальную воду выкачал один первый насос. За сколько времени была выкачана вся вода из этого котлована?

Для решения задачи примем весь объем работы (всю воду в котловане) за 1.

1. Определим производительность каждого насоса.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

Первый насос может выкачать всю воду за 36 часов. Следовательно, его производительность $v_1$ составляет:

$v_1 = \frac{1}{36}$ (часть котлована в час).

Второй насос работает в 2 раза быстрее, это означает, что он выполнит ту же работу за вдвое меньшее время:

Время работы второго насоса = $36 \div 2 = 18$ часов.

Следовательно, производительность второго насоса $v_2$ составляет:

$v_2 = \frac{1}{18}$ (часть котлована в час).

2. Найдем время совместной работы и выполненный объем.

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность $v_{общ}$ равна:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} = \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ (часть котлована в час).

По условию, работая вместе, они выкачали $\frac{1}{3}$ всей воды. Найдем, сколько времени $t_1$ им на это потребовалось:

$t_1 = \text{Объем работы} \div v_{общ} = \frac{1}{3} \div \frac{1}{12} = \frac{1}{3} \times 12 = 4$ часа.

3. Найдем объем оставшейся работы и время на ее выполнение.

После совместной работы в котловане осталась часть воды:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (часть котлована).

Эту оставшуюся воду выкачивал один первый насос со своей производительностью $v_1 = \frac{1}{36}$. Найдем, сколько времени $t_2$ ему на это потребовалось:

$t_2 = \text{Оставшийся объем} \div v_1 = \frac{2}{3} \div \frac{1}{36} = \frac{2}{3} \times 36 = 2 \times \frac{36}{3} = 2 \times 12 = 24$ часа.

4. Найдем общее время работы.

Общее время, за которое была выкачана вся вода, равно сумме времени совместной работы и времени, когда первый насос работал один:

$T = t_1 + t_2 = 4 \text{ часа} + 24 \text{ часа} = 28$ часов.

Ответ: 28 часов.